Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendestellen: f(x)=x^4-8x^3+16x^2

Question

Graph der Funktion f mit f(x)=x⁴-8x³+16x²

a) Berechne die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen

b) Weise rechnerisch nach, dass der Graph von f in T₁(0/0) und T₂(4/0) Tiefpunkte und in H(2/16) einen Hochpukt hat.

c) Leite aus dem Graphen der Ableitungsfunktion f ' eine Aussage über die Anzahl der Wendestellen von f her und lese diese Stellen näherungsweise am Graphen ab.

d) Berechne nun die Funktion g_a mit g_a(x) = x²·(x²-8x+a). Setzt man hier für a verschiedene Zahlen ein, so erhält man jedes Mal eine andere Funktionsgleichung

d₁) Bestimme die Zahl so, dass die Funktion g_a mit der Funktion f übereinstimmt.

d₂) Ermittle a so, dass x = 0 eine Wendestelle des Graphen von g_a ist.

 

Ich brauche eure Hilfe: Ich war ca. 4 Wochen krank, weil ich eine schwere Erkältung hatte. Morgen um 10 Uhr schreiben wir schon die Vergleichsklausur in Mathe und ich habe alles verpasst. Mein Lehrer meinte, dass ich kurz wiederholen sollte und mir dieses Blatt gegeben. Ich versteh aber nichts. Da aber der Rechenweg immer in den Vergleichsklausuren gleich ist, brauch ich eure Hilfe. Könnt ihr vielleicht die Aufgaben lösen und erklären wir ihr sie gelöst habt.

Vielen

Answer 1

Also.

a) Das müsstest du ja eigentlich können, ist eigentlich schon vorher vorausgesetzt. Für die Schnittpunkte mit der x-Achse setzt du die Funktion gleich 0:

0 = x⁴ - 8x³ + 16x² |:x² →Teilen durch x erzeugt immer x = 0 als mögliche Lösung
0 = x² - 8x + 16 |wird durch die 2. binomische Formel zu...
0 = (x - 4)² |√
0 = x - 4 |+ 4
x = 4
Also gibt es zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, bei (0|0) und (4|0).
Der Schnittpunkt mit der y-Achse, von denen es ja immer nur einen gibt, ist also auch bei (0|0).

b) Der Nachweis von Extrempunkten (also Hoch- oder Tiefpunkten) ist immer: f'(x) = 0, f''(x) ≠ 0. Bei Hochpunkten muss zusätzlich gelten f''(x) < 0, bei Tiefpunkten f''(x) > 0.

Also stellst du erst einmal die Ableitungen auf:
f'(x) = 4x³ - 24x² + 32x
f''(x) = 12x² - 48x + 32

Angegeben sind die x-Koordinaten 0, 2 und 4. Die setzt du jetzt nacheinander in die Ableitungen ein, um die Punkte nachzuweisen. 2 musst du auch noch in die Ursprungsfunktion einsetzen, um die y-Koordinate nachzuweisen.

f'(0) = 4·0³ - 24·0² + 32·0 = 0 →Extrempunkt bei 0 bewiesen
f''(0) = 12·0² - 48·0 + 32 = 32 →Tiefpunkt bei 0 bewiesen

f(2) = 2⁴ - 8·2³ + 16·2² = 16 - 64 + 64 = 16→Punkt (2|16) bewiesen
f'(2) = 4·2³ - 24·2² + 32·2 = 32 - 96 + 64 = 0 →Extrempunkt bei 2 bewiesen
f''(2) = 12·2² - 48·2 + 32 = 48 - 96 + 32 = -32 →Hochpunkt bei 2 bewiesen

f'(4) = 4·4³ - 24·4² + 32·4 = 256 - 384 + 128 = 0 →Extrempunkt bei 4 bewiesen
f''(4) = 12·4² - 48·4 + 32 = 192 - 192 + 32 = 32 →Tiefpunkt bei 4 bewiesen

c) So sieht die Ableitungsfunktion aus:

Am Graphen siehst du zwei Extremstellen. Hat die Ableitung einer Funktion einen Extrempunkt, hat die Funktion an dieser Stelle eine Wendestelle, das ist die Stelle, in der die Rechtskrümmung der Funktion in eine Linkskrümmung bzw. andersrum übergeht.

Die Funktion hat also zwei Wendepunkte, diese liegen schätzungsweise bei x=3/4 und x=3.

d₁) ist leicht. Du hast ja schon oben aus der Funktion x² ausgeklammert. Die Funktion f ist x²·(x²-8x+16). So siehst du offensichtlich, dass a 16 sein muss.

d₂) ist etwas schwieriger, du bestimmst die allgemeine zweite Ableitung von g_a(x) = x⁴ - 8x³ + ax²:

g_a'(x) = 4x³ - 24x² + 2ax
g_a''(x) = 12x² - 48x + 2a

An Wendestellen ist die zweite Ableitung gleich 0, also
0 = 12·0² - 48·0 + 2a = 2a |:2
a = 0

Bei a = 0 liegt bei x = 0 eine Wendestelle vor.

 

Ich wünsche dir viel Glück bei deiner Arbeit!

LG Florian