Bestimmen Sie die lokalen Hochpunkte und Tiefpunkte der Funktion f(x) = x^4 - 4x^2 und f(x) = -x^3 + 3x^2 - 8

Question

Bestimmen Sie die lokalen Hochpunkte und Tiefpunkte der Funktion:

1) f(x) = x^4 - 4x^2

2) f(x) = -x^3 + 3x^2 - 8

Wäre über Antworten sehr erfreut.

Answer 1

Hi,

ich mach die erste und Du dann die zweite?

a)

f(x)=x⁴-4x²

Du must die ersten 2.Ableitungen bilden:

f'(x)=4x³-8x

f''(x)= 12x²-8

Extrempunkte:

nowendiges Kriterium: f'(x)=0

4x³-8x=0

x(4x²-8)

x₁=0

x₂= √2

x₃=-√2

hinreichendes Kriterium: f''(x₀)

Hochpunkt: f''(x₀)<0

Tiefpunkt: f''(x₀)>0

f''(x₁)<0 H(0|0)

f''(x₂)> T(√2|-4) 

f''(x₃)> T(-√2|-4)

Alles klaro?!^^

Answer 2

1) f(x)=xhoch4-4xhoch2

f ( x ) = x^4 - 4 * x^2
1.Ableitung
f ´( x ) = 4 * x^3 - 8 * x
Extrempunkte : 1.Ableitung = 0
4 * x^3 - 8 * x = 0
x * ( 4 * x^2 - 8 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens 1 der Faktoren 0 ist
x = 0
( 4 * x^2 - 8 ) = 0
4 * x^2 = 8
x^2 = 2
x = √ 2
x = - √ 2
Um die Koordinaten zu erhalten jetzt den Funktionswert
berechnen.
f ( 0 ) = 0
E ( 0  | 0 )
f (  √ 2 ) = (√ 2)^4 - 4 * (√ 2)^2 = 4 - 8 = -4
E  (√ 2)  | -4 )
f ( - √ 2 ) = (-√ 2)^4 - 4 * (-√ 2)^2 = -4
E ( √ 2  | -4 )
f ´´ ( x ) = 12 * x^2 - 8
2.Ableitung
Positv : Minimum
Negativ : Maxium
f ´´ ( 0) = 12 * 0^2 - 8 = -8 max
E ( 0 | 0 ) ist max
f ´´ ( √ 2) = 12 * (√ 2)^2 - 8 = 16  min
E  (√ 2)  | -4 )  min
f ´´ ( -√ 2) = 12 * (-√ 2)^2 - 8 = 16  min
E  (-√ 2)  | -4 )  min

2) f ( x ) =-xhoch3+3xhoch2-8 
f ( x ) = x^3 + 3 * x^2 - 8
f ´( x ) = 3 *x^2 + 6 * x
f ´´( x ) = 6 * x + 6
Kannst du das ?