Inverse der Matrix durch elementare Zeilenumformung

Question

 ich soll die inverse der Matrix A über ℚ mit elementaren Zeilenumformungen angeben

A=(1,2,1 ; 2,0,1 ; 3,1,2)

Das ist die Matrix, ich hofee es ist verständlich. Ich kenne die Inverse schon

Inverse = (1,3,-2 ; 1,1,-1 ; -2,-5,4)  allerdings hab ich schon so viele Umformungen ausprobiert und es kommt am Ende einfach nicht diese inverse raus. Oder ist die Inverse wohl falsch?

Answer 1

Hier eine mögliche Umformungskette:$$\left( { \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} } \right)$$$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 2 \end{matrix} } \right)$$$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 2 \end{matrix} } \right)$$$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & -5 & 4 \end{matrix} } \right)$$$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -1 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & -5 & 4 \end{matrix} } \right)$$$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 2 & 6 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -2 & -5 & 4 \end{matrix} } \right)$$$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 & 3 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & -5 & 4 \end{matrix} } \right)$$Benötigst du noch Kommentare zu den einzelnen Umformungen?