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ich wollte mal fragen:

1.) Habe ich nachfolgende Aufgabe richtig gerechnet?

2.) Wie kann man sie besser rechnen?


Aufgabe: Ein Autoverkäufer verkauft pro Tag 0, 1 oder 2 Autos. Die Zufallsvariable X = "Anzahl verkaufter Autos pro Tag" hat folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion: P( X = 0 ) = 0.6, P( X = 1 ) = 0.3, P( X = 2 ) = 0.1

Wir nehmen an, dass die Anzahlen verkaufter Autos für verschiedene Tage unabhängig voneinander sind. Wir betrachten zusätzlich Zufallsvariable Y = "Anzahl verkaufter Autos an 2 Tagen".

Berechnen Sie die Erwartungswerte von X und Y.


Also E(X) ist kein Problem. E(X) = 0 * 0.6 + 1 * 0.3 + 2 * 0.1

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion hatte ich jetzt zwei Zufallsvariablen Y1 = "Anzahl verkaufter Autos am 1ten Tag", Y2 = "Anzahl verkaufter Autos am 2ten Tag" mit jeweils möglichen Werten 0, 1, 2 aufgestellt. Da Y1 und Y2 unabhängig sind, ist P( Y1 = a, Y2 = b ) = P( Y1 = a ) * P( Y2 = b ), oder? Die habe ich in einer Tabelle aufgestellt und diese ausgefüllt, dann die P( Y1 = a, Y2 = b ) und P( Y1 = b, Y2 = a ) addiert und komme auf die Wk.-Funktion von Y:

0          1        2      3      4

0.36 0,36 0,21 0,06 0,01

Und habe daraus den Erwartungswert E(Y) = 1 berechnet.

Ist das richtig? Und mir kommt es ziemlich umständlich vor. Kann man da nicht etwas mit Zufallsvariablen-Arithmetik machen? Oder Wahrscheinlichkeitsverteilungen?


Danke,

Thilo
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Ist das richtig?

Da ich zum gleichen Ergebnis komme, ist die Wahrscheinlichkeit, dass es richtig ist "recht hoch" :-)

Kann man da nicht etwas mit Zufallsvariablen-Arithmetik machen?

Ja, es gilt:

E ( Y ) = E ( X + X )  = E ( X ) + E ( X ) = 2 * E ( X )

= 2 * ( 0,3 * 1 + 0,1 * 2 )

= 2 * 0,5

= 1

Siehe auch hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert#Erwartungswert_von_zwei_Zufallsvariablen_mit_gemeinsamer_Dichtefunktion

insbesondere die erste Regel im Abschnitt "Rechenregeln".

Avatar von 32 k

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