Question

Inhomogene DGL zweiter Ordnung lösen mit AWP:

\( x^{\prime \prime}-7 x^{\prime}+6 x=42 e^{4 t}, \quad x(1)=8 e^{4} ; \quad x^{\prime}(1)=-8 e^{4} \)

Ich bekomme die Gleichung vor allem wegen des AWP nicht gelöst.

Answer 1

Hi,

die homogene Lösung ist ja kein Problem oder?

Wenn ich mich nicht vertan habe:

x_h = c*e^t + d*e^{6t}

Für die partikuläre Lösung nehmen wir den Ansatz (liegt kein Resonanzfall vor):

x = A*e^{4t}

Also

x' = 4Ae^{4t}

x'' = 16Ae^{4t}

Einsetzen:

16Ae^{4t} - 7*(4Ae^{4t}) + 6*(Ae^{4t}) = 42e^{4t}

Sortieren/Zusammenfassen und vergleichen:

16A - 28A + 6A = 42

-6A = 42

A = -7

 

Folglich lautet der partikuläre Teil:

x_p = -7e^{4t}

und insgesamt haben wir die allgemeine Lösung:

x = c*e^t + d*e^{6t} - 7e^{4t}

 

Nun die Anfangsbedingung einsetzen:

x(1) = c*e^1 + d*e^6 - 7*e^4 = 8e^4

und

x' = c*e^t + 6d*e^{6t} - 28e^{4t}

x'(1) = c*e^1 + 6d*e^6 - 28*e^4 = -8e^{4}

 

Löse das und Du kommst auf

c = 14*e^3

d = e^{-2}

 

--> x = 14e^{t+3} + e^{6t-2} - 7e^{4t}

 

(Beachte, dass ich am Schluss die Potenzgesetze verwendet habe, um die e's zusammenzuschreiben ;)).

 

Alles klar?

Grüße