Question

Gesucht ist das Volumen des abgebildeten Körpers, der durch Rotation der roten Flächen um die x-Achse entsteht.

Hier die Lösung:

V = 2π ∫ ( x - x^4)dx = 2π[ 1/2 * x² - 1/5 * x^5] = 3/5π

Leider habe ich keine Ahnung wie man darauf kommt.

Answer 1

Die von dir angenommene Funktion ( x - x⁴ ) stimmt aber nicht
mit den auf der Skizze angegebenen Funktionen
f ( x) = x^2 und g ( x ) = √ x überein !
Das war meine erste Überlegung. Jetzt sieht es schon anders aus.

Ich betrachte nur die Figur im 1.Quadranten.
Die obere Funktion ist
g ( x ) = √ x
Fläche
Ag ( x ) = [ g ( x ) ]^2 * π
Ag ( x ) = [ √ x  ]^2 * π
Ag ( x ) = x * π
Stammfunktion
x^2 / 2 *π
Die untere Funktion ist
f ( x) = x^2
Fläche
Af ( x ) = [ f ( x ) ]^2 * π
Af ( x ) = [ x^2  ]^2 * π
Af ( x ) = x^4 * π
Stammfunktion
x^5 / 5 *π
Schnittpunkte der Funktionen
x = 0 und x = 1
Volumen g ( x )
π * [ x^2 / 2 ]₀¹
Volumen f ( x )
π * [ x^5 / 5 ]₀¹
V = Volumen g minus Volumen f
V = π * [ x^2 / 2  ]₀¹ -  π * [ x^5 / 5 ]₀¹
V = π * ( 1^2 / 2  -  1^5 / 5 )
V = π * 3 / 10
Da der Rotationskörper sich links und
rechts der y-Achse befindet ist das Gesamtvolumen
V = π * 3 / 10 * 2
V = π * 3 / 5

Bei Fehlern oder fragen wieder melden.

mfg Georg
 

 

 

Comments

Na hallo... krasse leistung. Ich dank dir! Ich kam ganz anders darauf... ich dachte ich könnte es ehrlich gesagt rechnen indem ich einfach das integral von g(x) - f(x) rechnen kann...


Also ich hatte V = 2 π ∫ ( √x - x²) dx. weil wenn ich das so rechne, komme ich doch auch genau auf das Ergebnis. Ginge das so nicht?

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Kleiner Fehlerhinweis: wenn du schon g von f als Differenz bilden
willst müßtest du um auf die Kreisgleichung r^2  * π zu kommen
die Differenz noch quadrieren. Fehlt bei dir ( √x - x² ).
Macht aber nichts weil sowieso falsch. Grins.

Stelle dir bitte eine beliebige Stelle x vor: Dort haben wir
eine Funktion g ( x ). Die lassen wir jetzt rotieren. Es ensteht
1 Kreis. Die Aufsummierung der Kreisflächen wäre das Volumen.
g ( x ) = r
A ( x ) = r^2 * π = [ g ( x ) ]^2 * π
V ( x ) = a bis b ∫ A ( x ) dx

Jetzt haben wir zwei Funktion g ( x ) und f ( x ). Die lassen wir
jetzt rotieren. Es entstehen 2 Kreise. Die Fläche wäre die
Differenz zwischen den beiden Kreisen
g ( x ) =  √ x
Ag ( x ) = (√ x )^2 * π
Ag ( x ) = x  * π
f ( x ) =  x^2
Af ( x ) = (x^2 )^2 * π
Af ( x ) = x^4 * π
Differenzfläche
Ag ( x ) - Af ( x )
Die Aufsummierung der Differnzfläche wäre das Volumen.
V ( x ) = a bis b ∫ Ag ( x ) - Af ( x ) dx
V ( x ) = a bis b ∫ x * π -  x^4 * π dx
V ( x ) = π * ( a bis b ) ∫ x  -  x^4  dx
Dies stimmt mit der von dir angegebenen Lösung
überein. Man muß noch mal 2 nehmen.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

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Gut okay danke :) Ein Versuch wars wert :D aber dickes danke! :) Daumen hoch :)

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Gern geschehen. Es gibt sogar Abituraufgaben mit einer entsprechenden
Fragestellung, bei denen die Lösung falsch angegeben wurde.
Du bist also nicht der einzige.
Ich habe meinen Kommentar gerade nochmal etwas überarbeitet.

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Na das gibt einen schon zu denken, dass manche Abituraufgaben bzw. deren Lösungen, falsch sind...

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Nobody is perfect. Das hat bisher noch niemand geschafft. mfg Georg