Integralrechnung mit einer Tangente

Question

Ich komme mit dieser Aufgabe leider nicht zurecht:

Vom Koordinatenursprung 0 (0/0) wird die Tangente an den Graphen der Funktion f mit f(x) = x² + 2 gezeichnet. Berechnen Sie den Flächeninhalt der im ersten Quadranten eingeschlossenen Fläche.

Answer 1

Zunächst muss die x-Koordinate x_b des Berührpunktes B ( x_b | y_b ) von f ( x ) und derjenigen Tangente an f ( x ), die durch den Ursprung verläuft, bestimmt werden. Der Punkt B soll dabei im ersten Quadranten liegen. Die x-Koordinate x_b von B ist dann die Obergrenze für das zu berechnende Integral.

 

Da die Tangente eine Ursprungsgerade ist, hat sie die Form:

t ( x ) = m x + 0

Im Berührpunkt B ( x_b | y_b ) müssen nun die Funktionswerte von f und t sowie die Werte derer Steigungen (Ableitungen) jeweils gleich sein. Es muss also folgendes Gleichungssystem erfüllt sein: 

f ( x_b ) = t ( x_b ) <=> x_b² + 2 = m * x_b

f ' ( x_b ) = t ' ( x ) <=> 2 x_b = m

Die zweite Gleichung liefert einen Term für m. Diesen setzt man in die erste Gleichung ein und erhält:

x_b² + 2 = 2 x_b* x_b = 2 x_b²

<=> x_b² = 2

<=> x_b = ± √ 2

Die negative Lösung ist unbeachtlich, da der zugehörige Berührpunkt nicht im ersten Quadranten liegt (sondern im zweiten).

Die gesuchte Tangente hat somit die Gleichung

t ( x ) = m x = 2 x_b x = 2  * √ ( 2)  x

 

Nun kann der gesuchte Flächeninhalt A berechnet werden:

A = ∫₀^√2 f ( x ) - t ( x ) dx

= ∫₀^√2 x² + 2 - 2 * √ ( 2 ) x dx

= [ ( 1 / 3 ) x ³ + 2 x - √ ( 2 ) x ² ]₀^√2

= [ ( ( √ ( 2 ) ³ / 3 ) + 2 √ ( 2 ) - √ ( 2 ) * 2 ) - ( 0 ) ]

= √ ( 2 ) ³ / 3

= √ ( 8 ) / 3

≈ 0,9428

 

Hier ein Schaubild von f ( x ) und t ( x ) :

Man erkennt die zu berechnende Fläche und kann deren Flächeninhalt grob auf etwa 1 schätzen. Dies unterstützt die gefundene Lösung.