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Sei \( K \) ein endlicher Körper mit \( \operatorname{Char}(K) \neq 2 \), und \( a \in K^{*} \backslash\left\{x^{2} \mid x \in K^{*}\right\} . \) Zeigen Sie:

(1) \( K=\{0\} \dot{\cup}\left\{x^{2} \mid x \in K^{*}\right\} \dot{\cup}\left\{a x^{2} \mid x \in K^{*}\right\} \).

(2) Es gilt: \( [1,1]_{K} \cong[a, a]_{K} \).

(3) Für \( n \in \mathbb{N} \) gibt es, bis auf Isomorphie, genau zwei \( n \) -dimensionale reguläre metrische Vektorräume über \( K \), nämlich \( [1,1, \ldots, 1,1]_{K} \) und \( [1,1, \ldots, 1, a]_{K} \).

Zusatzaufgabe: Geben Sie als Folgerung eine vollständige Liste aller endlich dimensionalen anisotropen regulären metrischen Vektorräume über \( K \), bis auf Isomorphie, an.

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Was bedeutet denn die Notation \( [1,1]_K \) u.ä? Was ist ein regulär metrischer Vektorraum?

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(1) Sei \(|K|=q\). Dann ist

\(f:K^*\rightarrow \{\pm 1\},\; x\mapsto x^{\frac{q-1}{2}}\)

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Daher hat der Kern von \(f\), also

\(\{x^2:\; x \in K^*\}\) den Index 2 in \(K^*\), d.h.

\(K^*=Kern(f)\;\;\dot{\cup}\;\;a\cdot Kern(f)\) mit einem Nichtquadrat \(a\), folglich

\(K=\{0\}\;\dot{\cup}\; \{x^2:\; x\in K^*\}\;\dot{\cup}\;\{ax^2:\; x\in K^*\}\).

(2) Sei \(A=\{a-x^2:\; x\in K\}\) und \(B=\{y^2:\;y \in K\}\).

Dann gilt \(A\cap B\neq \emptyset\); denn wir haben

\(|A|+|B|=1/2(q-1)+1+1/2(q-1)+1=q+1> q\).

Ist also \(c\in A\cap B\), dann gibt es \(x,y\in K\) mit \(a-x^2=c=y^2\),

d.h. \(a=x^2+y^2\). Nun gilt

\(a\cdot u^2+a\cdot v^2=a(u^2+v^2)=(x^2+y^2)(u^2+v^2)=1\cdot(xu-yv)^2+1\cdot(xv+yu)^2\),

also gilt für die quadratischen Formen:

\([a,a] \cong[1,1]\).

(3) ergibt sich sofort aus (2).

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