Kosinussatz nach b auflösen

Question

Hier die Vorgabe:

50² = 40² + b² - 2*40*b * cos(alpha)

Ich muss das nach b umstellen.
Und ja, ich kann diese Strecke nur mit dem Kosinussatz berechnen.

Ich bitte um einen vollständigen Lösungsweg denn ich bin verzweifelt :-)

Grüße! :)

Answer 1

50 ² = 40 ² + b ² - 2 * 40 * b * cos ( alpha )

<=> 50 ² - 40 ² = b ² - 80 * b * cos ( alpha )

<=> 900 = b ² - 80 * b * cos ( alpha )

<=> b ² - 80 * b * cos ( alpha ) = 900

Auf beiden Seiten die quadratische Ergänzung addieren:

<=> b ² - 80 * b * cos ( alpha ) + ( 40 cos ( alpha ) ) ² = 900 + ( 40 cos ( alpha ) ) ²

Linke Seite mit Hilfe der zweiten binomischen Formel als Quadrat schreiben:

<=> ( b - 40 cos ( alpha ) ) ² = 900 + ( 40 cos ( alpha ) ) ²

<=> b - 40 cos ( alpha ) ² = ± √ ( 900 + ( 40 cos ( alpha ) ) ² )

<=> b = ± √ ( 900 + ( 40 cos ( alpha ) ) ² ) + 40 cos ( alpha ) ²

Comments

Danke für die Antwort, jetzt fühle ich mich noch dümmer als zuvor :-)


Werde es wohl so lange durchlesen bis ich es verstehe, danke für die Lösung :)


Grüße

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Es sieht vielleicht schlimm aus, aber es handelt sich einfach um das Auflösen einer quadratischen Gleichung.

Bis hierhin kommst du doch sicher noch mit, oder?:

b ² - 80 * b * cos ( alpha ) = 900

Nun ersetze cos ( alpha ) einfach mal durch K, dann sieht's nur noch halb so schlimm aus:

<=> b ² - 80 * K * b = 900

Nun muss man eben diese quadratische Gleichung nach b auflösen:

Dazu berechnet man die quadratische Ergänzung, indem man das
lineare Glied 80 * K * b durch 2 b dividiert ( man erhält 40 K ) und das Ergebnis quadriert .
Die quadratische Ergänzung ist also ( 40 K ) ²

Dies addiert man auf beiden Seiten der Gleichung und erhält:

<=> b ² - 80 * K * b + ( 40 K ) ² = 900 + ( 40 K ) ²

Der Sinn des Ganzen ist, dass man nun den linken Teil als Quadrat schreiben kann:

<=> ( b - 40 K ) ² = 900 + ( 40 K ) ²

und daraus nun einfach die Wurzel ziehen kann:

<=> b - 40 K  = ± √ ( 900 + ( 40 K ) ² )

Nun noch auf beiden Seiten 40 K addieren:

<=> b =  ± √ ( 900 + ( 40 K ) ² ) + 40 K

und schließlich K wieder durch cos ( alpha ) ersetzen:

<=> b =  ± √ ( 900 + ( 40 cos ( alpha ) ) ² ) + 40 cos ( alpha )

Das war's schon :-)