Pascalsches Dreieck: Summe der Quadrate der n-ten Zeile

Question

Ich suche einen Beweis für die Behauptung:

Im Pascalschen Dreieck ist die Summe der Quadrate der n-ten Zeile gleich der mittleren Zahl aus der 2n-ten Zeile, also z.B. 1² + 3² + 3² + 1² = 20 = (6 über 3).

Tut mir leid, ich habe es mit dem Formeleditor versucht, aber die eingegebene Formel läßt sich nicht hierher kopieren.

Comments

Die Behauptung ist so nicht zu erkennen

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Interessante Behauptung.

Answer 1

deine Beobachtung ist ein Spezialfall der sogenannten Vandermondeschen Identität (Wikipedia-Artikel):

\( \sum_{j=0}^{k}  \binom{m}{j} \binom{n}{k-j} = \binom{m+n}{k} \).

Mit \( m \equiv n \) und \( k \equiv n \) sowie der Eigenschaft \( \binom{n}{n-j} = \binom{n}{j} \) erhältst du die spezielle Aussage

\( \sum_{j=0}^{n}  \binom{n}{j} \binom{n}{j} = \binom{2n}{n} \).

MfG

Mister

PS: Zweifelsohne ist die Vandermondesche Identität zu beweisen, wenn diese nicht als gegeben hingenommen wird.

Comments

Danke, das hilft mir schon ein bisschen weiter. Ich suche einen möglichst einfachen Beweis, weil ich die Frage in einem alten Mathebuch für die Oberstufe gefunden habe. So schwer kann der Beweis dann eigentlich nicht sein, denke ich, bin aber bisher auf nichts wirklich Brauchbares gekommen.

Den Formeleditor probiere ich nachher noch mal aus, muss jetzt erst mal weg.

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Ja, es handelt sich um die sehr leicht zu lernende LaTeX-Sprache. Kuckst du hier:  https://www.matheretter.de/rechner/latex

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Einen interessanten Beweis habe ich hier gefunden:  https://proofwiki.org/wiki/Chu-Vandermonde_Identity#Proof_1 .

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Danke für den Link. Sieht schön kurz aus. Ich werde mir den Beweis nachher, wenn der Lärm nach dem Fußballspiel vorbei ist, in Ruhe zu Gemüte führen. (Ich wohne mitten in der Stadt, hier ist gerade die Hölle los.)

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Aus einem mir unbekannten Grund kann ich die Formel aus dem Formeleditor hier nicht reinkopieren. Ich habe es gerade noch mal versucht, geht nicht.