Bitte entschuldige im Voraus meine unleserlichen mathematischen Ausdrücke. Ich bin neu im Forum und weiß noch nicht ganz, wie man "Formeln" integrieren kann.
Nun zu Deiner Frage.
Das kann man zuerst mit den Peano-Axiomen machen. Ich bin zwar erst in der achten Klasse und das macht man erst in der Uni, aber einen kleinen Einblick kann ich dir geben.
Fangen wir nun komplett neu an, indem wir die natürlichen Zahlen und dessen Eigenschaften klarmachen.
Definieren wir mal den Nachfolger einer natürlichen Zahl n als N'(n).
Die Peano-Axiome sagen nun folgendes aus:
1) 0 ist eine natürl. Zahl. 2) Wenn n ∈ natürl. Zahlen, dann ist N'(n) auch natürlich. 3) 0 ist kein Nachfolger einer nat. Zahl. 4) Verschiedene nat. Zahlen haben versch. Nachfolger (N'(n1) ist Nachfolger von n1, aber nicht von n2, wenn n1 ungleich n2. 5) Für eine Menge M von nat. Zahlen, wenn 0 in der Menge und für jedes n ist auch N'(n) in M, dann: Menge nat. Zahlen = M.
Peano hat also die natürlichen Zahlen definiert.
Aus Notationsgründen gilt: N'(1)=2, N'(2)=3, ...
Dann gibt es auch noch die "Additionsaxiome".
1) n+0=n; n+1=N'(n) (Überraschung!) 2) m+N'(n) = N'(m+n), wenn n und m aus den natürlichen Zahlen sind (siehe Peano-Axiome).
Du wolltest nun beweisen, dass 1+1=2 ist. Dazu brauchen wir ein anderes Axiom: 1=N'(0). Nun müssen wir erst zeigen, dass für alle n aus den natürlichen Zahlen gilt, dass n+1=N'(n) gilt. Zuerst wenden wir unser neues Axiom an: n+1=n+N'(0). Danach können wir das Additions-Axiom 2 anwenden: n+N'(0)=N'(n+0). Abschließend noch das erste dieser Axiome: N'(n). Somit ist das schon einmal bewiesen, damit wir es auch für alle nat. Zahlen anwenden können.
Somit wissen wir mit den Add.-Additionen, dass 1+1=n+1=N'(n) für n=1. 1+1 ist also der Nachfolger von 1.
N'(1)=2.
Somit ist bewiesen, dass 1+1=2.
Puh. Das war anstrengend...
