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gegeben ist folgendes Gleichungssystem (hab ich mir selbst "ausgedacht"):
$$A*x=b$$
$$ A=\left(\begin{matrix} 1&-2&5\\4&3&s\\2&4&-5 \end{matrix}\right), \vec b=\left(\begin{matrix} 2\\5\\4 \end{matrix}\right) $$
A1: Man bestimme alle Werte von s, für die das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.

Ich habe die Determinante ausgerechnet und bin für den Wert s=-5/8 gestoßen.
Das Gleichungssystem ist für alle Werte ungleich s lösbar. Falls ich jetzt einen Wert für s angeben sollte, damit das Gleichungssystem lösbar ist, könnte ich einen Wert für s ungleich -5/8 angeben und x somit mit der cramerischen Regel ausrechnen?

bzw. hätte ich damit eine eindeutige Lösung? Soweit ich weiß, ist das Gleichungssystem nur dann invertierbar, wenn die det |A| ungleich Null ist (lineare Abbhägigkeit, das heißt ja die Vektoren sind kollinear)
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Meinte natürlich, dass, wenn det |A|=0 die Matrix |A| nicht invertierbar ist und die Vektoren linear abhängig sind...

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Beste Antwort

DET([1, -2, 5; 4, 3, s; 2, 4, -5]) = - 8·s - 5 = 0

s = - 5/8

Für s <> -5/8 ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar. Man kann dann auch eine Inverse bilden. Die Inverse lautet dann

[(4·s + 15)/(8·s + 5), - 10/(8·s + 5), (2·s + 15)/(8·s + 5);
- 2·(s + 10)/(8·s + 5), 15/(8·s + 5), (s - 20)/(8·s + 5);
- 10/(8·s + 5), 8/(8·s + 5), - 11/(8·s + 5)]

Ok. Das sieht jetzt in Textform nicht so schön aus. Aber du wolltest ja auch nicht die inverse haben sondern nur wissen ob das dann geht.

Avatar von 477 k 🚀
Top! Herzlichen Dank! Echt Klasse!!!
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soweit ich das sehe, hast du eigenlich schon alles verstanden.

Du scheinst nur estwas unsicher zu sein, was den Unterschied von "Lösbarkeit" und "eindeutige Lösbarkeit" angeht.

Du schreibst:

"Ich habe die Determinante ausgerechnet und bin für den Wert s=-5/8 gestoßen.
Das Gleichungssystem ist für alle Werte ungleich s lösbar. Falls ich jetzt einen Wert für s angeben sollte, damit das Gleichungssystem lösbar ist, könnte ich einen Wert für s ungleich -5/8 angeben und x somit mit der cramerischen Regel ausrechnen?"

Genauer gitl:

Das Gleichungssystem ist für alle s ungleich -5/8 eindeutig lösbar. Falls ich jetzt einen Wert für s angeben sollte, damit das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, könnte ich einen Wert für s ungleich -5/8 angeben.

Damit ist die von dir gestellte Frage beantwortet.

Alles andere sind Zusatzfragen:

Wie sieht es mit der Lösbarkeit für den Fall s=-5/8 aus? (mehrdeutig lösbar oder unlösbar?)

Wie berechnet man die Lösungen für ein bestimmtes s ungleich -5/8 (z.B. mit dem Gauß-Verfahren, über Determeinanten - das wäre sehr aufwändig - oder einfach mit ienem geeignbetenTool, Taschenrechner oder CAS)

Eine Checklist, was es bei Linearen Gleichungssystemen zu können gibt, findest du hier:

www.mathebaustelle.de/lineare_algebra/lgs/checklist_lgs.pdf
 

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