Es gibt genau ein Polynom p ∈ K[T] vom Grad höchstens n mit p(xi) = yi für i = 0,...,n.

Question

Sei K ein Körper, seien weiter x0,...,xn n + 1 paarweise verschiedene Körperelemente.

Sei y0, . . . , yn ∈ K.

Zeigen Sie: Es gibt genau ein Polynom p ∈ K[T] vom Grad höchstens n mit p(xi) = yi für i = 0,...,n.

Answer 1

Einddeutigkeit: Sind p, q zwei Polynome mit der Eigenschaft, so hat p-q einen Grad kleiner oder gleich n jedoch die n+1 Nullstellen $x_0, \ldots , x_n$, d.h. p-q ist das Nullpolynom. Existenz: Setze V.als den Vektorraum aller Polynome aus K[T] vom Grad kleiner-gleich n. Das ist ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit der Standardbasis $\{1,T,\ldots , T^n \}$. Bezeichnen a_i die gesuchten Koeffizienten von P, so gilt es das LGS $\begin{pmatrix} 1 & x_0 &\ldots & x_0^n\\ \vdots & \vdots & \ddots &vdots \\ 1 & x_n & \ldots & x_n^n \end{pmatrix}$ zu lösen. Das ist eine Vandermonde-Matrix, die netterweise invertier ist falls alle x_i paarweise verschieden sind.