Wie gibt man eine Norm auf V (V ist ein Vektorraum der Polynom vom Grad höchstens 3 mit p(1)=0) an?

Question

Aufgabe:

V ist der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 3 und muss die Bedingung p(1)=0 erfüllen.

Frage : Geben sie eine Norm auf V an.

Ansatz:

mit der Bedingung wäre ich jetzt zu dem Ansatz gekommen...

p(x) = ax³+bx²+cx+d

p(1)=0=a+b+c+d

-> a(b,c,d)=-b-c-d

nun weiß ich aber nicht ob ich damit eine Norm angeben kann bzw. ob das der richtige Weg ist..

Jemand anderes, dessen Lösung korrigiert wurde hat folgendes abgegeben :

‖p(x)‖₁= ∫|ax³+bx²+cx+d| dx=0,25ax⁴+0,333bx³+0,5cx²+dx

er hat keine Punkte darauf bekommen, die einzige Bemerkung war, dass es nicht positiv definit ist. Muss die Bedingung dabei nicht auch einbezogen werden ?

Answer 1

muss die Bedingung mit einbezogen werde n? Nein, vermutlich nicht. Dadurch werden ja nur die Elemente des Vektorraums weniger, änderen ja an den möglichen Normen nix. p=0 ist in dem Vektorraum enthalten.

Am einfachsten: nimm die Trivialnorm:

||p||=0, wenn p=0

      = 1, wenn p ungleich 0

Comments

Hast du vielleicht auch noch eine Idee wie man die 1-Norm darstellen könnte ?

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Das ist doch einfach

||p||_1 = |a|+|b|+|c|+|d|

a könntest du jetzt noch durch den Term in Abhängigkeit von b,c,d ausdrücken.

Man kann eine 1-Norm auch mit dem Integral machen, aber da müssen schon Integralgrenzen drin stehen. Des weiteren hat der andere auch falsch integriert und die Betragszeichen nicht beachtet.

Answer 2

||p||=0, wenn p=0

      = 1, wenn p ungleich 0

Inwiefern ist das eine Lösung? Es muss doch gelten für jede beliebige reelle Zahl α gelten:

||α*p||=α*||p||

1. Fall p=0, dann steht dort 0=0, alles o.k.

2. Fall p ungleich 0 und α sei beispielsweise 2 , dann steht dort ||α*p||=1=2*1.  Das ist aber falsch. Also ist die Bedingung der absoluten Homogenität der Norm nicht erfüllt.