Grenzwerte von Funktionen: f(x) = 1/(1-x)-1/(1-x^3)

Question

Hey ich muss den Grenzwert einer Funktion berechnen.

diese ist: lim_x→1 1/(1-x )-1/(1-x³).

Answer 1

f(x) = 1/(1 - x) - 1/(1 - x^3)

f(x) = ((1 - x^3) - (1 - x))/((1 - x)·(1 - x^3))

f(x) = (x - x^3)/((1 - x)·(1 - x^3))

f(x) = (x·(1 - x^2))/((1 - x)·(1 - x^3))

f(x) = (x·(1 + x)·(1 - x))/((1 - x)·(1 - x^3))

f(x) = (x·(1 + x)) / (1 - x^3)

lim (x --> 1-) f(x) = ∞

lim (x --> 1+) f(x) = -∞

Skizze

Comments

Nur \( \lim_{ x \rightarrow -1 } \neq \infty \), sondern 0 ;) Ups, warte. Mein Fehler. Hatte -1 und nicht 1- gelesen. Tschuldige :)

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Aber wenn man bei x*(1+x)/(1-x^3) lim x --> 1 einsetzt (hier setzt man ja 1 ein, oder?), dann ist der Nenner doch 0, was ja nicht sein darf. Verstehe daher nicht, warum das gegen unendlich gehen soll?!

Wäre sehr dankbar um eine Antwort :)

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Wenn man Werte wie 1 nicht einsetzen darf dann bildet man den Grenzwert.

Man setzt also 1+ ein. Das bedeutet 1 plus ein beliebig kleinen Wert. Z.B. 1.001

Und dann prüft man was der Grenzwert ist, wenn dieser beliebig kleine Wert immer immer kleiner wird.

Rechne also mal 

f(x) = (1.001·(1 + 1.001)) / (1 - 1.001^3)

f(x) = 2.003001 / (-0.003003000999) = -666.9997781

und jetzt nimmst du nicht 1.001 sondern 1.0001 und dann 1.00001 und dann 1.000001.

Was stellst du für die Funktionswerte fest. Das ist eigentlich was man mit der Grenzwertberechnung macht. Wenn man einen Wert nicht einsetzen darf setzt man etwas ein was beliebig dicht dran ist.

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Achsoooo, ok. Dankeschön :) Jetzt habe ich es verstanden!! Ich habe also in dem Falle zwei Grenzwerte, je nachdem, ob ich mich minimal von der 1 nach rechts oder nach links bewege, also zwei Grenzwerte (∞, -∞).

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Ja. daher habe ich auch einmal 1+ und einmal 1- geschrieben. Einmal nähere ich mich der 1 von links und einmal von rechts.