Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes:

Question

1)

Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes:

Jedes Polynom der Gestalt
                                     P(x) = xⁿ + a_n-1 x^n-1 + . . . + a₁x + a₀
mit a₀,a_{1, . . . ,}a_n-1 ∈ ℝ hat eine reelle Nullstelle, wenn n ungerade ist.

 

2)

Jede stetige Funktion ƒ : [a,b] → [a,b] besitzt einen Fixpunkt (d. i. eine Lösung der Gleichung ƒ(x) = x).

Comments

Kann das jemand genauer erklären ???? Brauche wirklich Hilfe!

Answer 1

zu 1)

Schau dir das Grenzverhalten des Polynoms an, da solltest du dann für die Richtungen \(\pm \infty\) unterschiedliche Vorzeichen bekommen. (Polynome sind natürlich stetig, falls nicht bekannt ist das einfach zu zeigen)

zu 2)

Nimm vorerst an, dass \(f(a)\leq f(b)\), dann folgt nach Zwischenwertsatz .... Der umgekehrte Fall ist dann analog.