Integralrechnung - Fläche berechnen

Question

Hi, die Aufgabe lautet: Berechnen Sie die Fläche F zwischen dem Graphen der Funktion

f (x) = 6(x − 3)(x + 2) und der x-Achse über dem Intervall [−5, 5]. Nun habe ich bei meinen Grenzen unterschiedliche Vorzeichen. Wenn beide Grenzen meines Integrals negativ sind, schreibe ich vor das Integral ja einfach ein -. Mache ich das auch, wenn ich nur eine negative Grenze habe (hier die Untergrenze)?

Mein Vorgehen: Ich multipliziere erstmal die Klammern aus und erhalte letztendlich: (6x² -6x -36)

Nun integriere ich: -(2x³-3x²-36x+c) Ist das soweit richtig?

Bei dem - vor der Klammer bin ich mir halt nicht sicher ob das so korrekt ist. Ich bin einfach mal davon ausgegangen das ein - vor das Integral geschrieben wird, auch wenn nur eine Grenze negativ ist. Bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege.

Answer 1

Auf die Vorzeichen der Grenzen kommt es nicht an. Entscheidend ist der Verlauf des Graphen und insbesondere seine Nullstellen. 

Wenn du dir den Graphen von f ( x ) anschaust, siehst du, dass er im Intervall [ - 2 , 3 ] unterhalb der x-Achse verläuft. Das Integral über f ( x ) würde daher in diesem Intervall einen negativen Wert liefern. Da man aber eine positive Fläche herausbekommen möchte, schreibt man das Integral in diesem Intervall mit einem negativen Vorzeichen.
In dem übrigen Bereich des vorgegebenen Intervall [ - 5 , 5 ] aber muss mit dem positiven Integral gerechnet werden.

Für den Flächeninhalt A zwischen der x-Achse und der Funktion f ( x ) im Intervall [ - 5 , 5 ] gilt also:

A = ∫_-5^-2 f ( x ) dx  - ∫_-2³ f ( x ) dx  + ∫₃⁵ f ( x ) dx

Zusammenfassend kann man auch schreiben:

A = ∫_-5⁵  | f ( x ) | dx

und muss dann beim Auflösen des Betrags darauf achten, in welchem Bereich f ( x ) negative Werte annimmt. Die Auflösung sollte zu der oben genannten Formel für A führen.

 

Zur Kontrolle:

A = 390

Comments

So ganz verstehe ich das noch nicht. Meine Integration ergibt -(2x³-3x²-36x+c) Dann ist das - davor also nicht richtig? Laut der Formel müsste es ja dann I (2x³-3x²-36x+c) I dx sein oder nicht? 

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( 6x² - 6x -36)
Nun integriere ich: -(2x³-3x²-36x+c) Ist das soweit richtig?
besser
6*x^3 / 3 - 6 * x^2 / 2 - 36 *x
2 * x^3 - 3 * x^2 - 36 * x
wo kommt bei dir das minus vor der Klammer her ?

 

Die sollst die Flächen zwischen der Funktion und der
x-Achse berechnen.
Dann mußt du getrennt berechnen
Fläche von -5 bis -2
Fläche von -2 bis 3
Fläche von 3 bis 5
Flächen sind immer positiv. Deshalb alle
Ergebnisse positiv setzen.
Die 3 Teilflächen addieren.
Schau dir im Mathe-Buch nochmals die Grundregeln
zur Flächenbestimmung an. Das steht bestimmt drin.
Bei Fragen wieder melden.
mfg Georg

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Ah okay, jetzt habe ich es verstanden. Mit der Zeichnung ist es noch mal deutlicher geworden, Danke :)

Ist das Vorgehen dasselbe, wenn meine Obergrenze negativ ist und die Untergrenze positiv?

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Üblicherweise wählt man

Untergrenze < Obergrenze

Also Obergrenze negativ und Untergrenze positiv  ist unüblich.

Wenn du den berechneten Wert jedoch absolut setzt stimmts
wieder.

mfg Georg

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Um nochmal auf deine Auflistung zurück zu kommen:

Fläche von -5 bis -2
Fläche von -2 bis 3
Fläche von 3 bis 5

Bedeutet das, dass ich auch schon die Integrationsgrenzen alle positiv setze oder nur das Ergebnis? Also schreibe ich:
$$\int _{ -5 }^{ -2 }{ +\int _{ -2 }^{ 3 }{ +\int _{ 3 }^{ 5 }{  }  }  }$$

oder

$$\int _{ 5 }^{ 2 }{ +\int _{ 2 }^{ 3 }{ +\int _{ 3 }^{ 5 }{  }  }  }$$

EDIT: Wobei bei der zweiten Variante ja Ober- und Untergrenze nicht mehr stimmen oder sehe ich das falsch? Die Obergrenze ist doch immer die größere und die Untergrenze immer die kleinere Zahl von beiden?

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Integralfunktion = Stammfunktion an der oberen Grenze
minus Stammfunktion an der unteren Grenze.
Die erste Variante ist richtig.
mfg Georg

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Danke, eine letzte Frage um zu schauen ob ich es verstanden habe.

Im nächsten Schritt muss ich -2 in 2 * x³ - 3 * x² - 36 * x einsetzen und -5 in 2 * x³ - 3 * x² - 36 * x einsetzen Dann rechne ich Obergrenze minus Untergrenze und dem Ergebnis, wenn es kein positives ist, verpasse ich ein positives Vorzeichen. Dasselbe dann mit den beiden anderen und alle drei Teilflächen addieren, richtig?

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das ist richtig.

Answer 2

ja das passt soweit.

Stelle den Graphen im Koordinatensystem dar und überlege dir, welche Flächen oberhalb der x-Achse im Intervall von - 5 und 5 liegen.