Rekonstruktion einer Funktion 3. Grades mit dem Tiefpunkt (1/-2) und Wendepunkt im Ursprung

Question

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Tiefpunkt TP (1/-2), deren Wendepunkt im Koordinatenursprung liegt.

Answer 1

Hi,

Stelle die Bedingungen auf:

f(1)=-2   (Tiefpunkt)

f'(1)=0    (dessen Bedingung)

f(0)=0    (Wendepunkt)

f''(0)=0   (dessen Bedingung)


a + b + c + d = -2

3a + 2b + c = 0

d = 0

2b = 0


--> f(x) = x^3-3x


Grüße

Comments

Dankeschön für die schnelle Antwort :)

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Gerne ;)    .

Answer 2

 

eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

Du brauchst 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten a, b, c und d.

Du setzt dafür die gegebenen Informationen in die Funktionsgleichungen bzw. die Ableitungen ein:

 

TP (1|-2):

I. f(1) = - 2 = a*1³ + b*1² + c*1 + d

II. f'(1) = 0 = 3a*1² + 2b*1 + c | Notwendige Bedingung für Tiefpunkt: f'(x) = 0

Wendepunkt im Koordinatenursprung (0|0):

III. f(0) = 0 = a*0³ + b*0² + c*0 + d 

IV. f''(0) = 0 = 6a*0 + 2b | Notwendige Bedingung für Wendepunkt: f''(x) = 0

 

Dieses aus den 4 Gleichungen bestehende Lineare Gleichungssystem löst Du jetzt und kommst so auf a, b, c, und d.

 

Besten Gruß

Answer 3

Die Lösungsvorschläge lassen sich ein wenig vereinfachen, wenn man ausnutzt, dass der immer vorhandene, einzige Wendepunkt einer ganzrationalen Funktion dritten Grades immer der Symmetriepunkt ihres Funktionsgraphen ist. Fällt dieser Symmetriepunkt mit dem Ursprung zusammen, ist die Funktion symmetrisch zum Ursprung und hat daher nur ungerade Exponenten in der Polynomdarstellung. Der Ansatz wäre entsprechend

f(x) = ax³ + cx