Was ist die induzierte lineare Abbildung?

Question

ich finde dazu auch keine Zusammenfassung, was eine induzierte lineare Abbildung ist und wie man eine solche berechnet. Also ich schreibe mal, wie ich meine, wie ich es verstanden habe:

Sei \( \sigma: V^m \rightarrow W^n \) eine lineare Abbildung mit Basis \( \underline{v} = (v_1, v_2, ..., v_m ) \) von \( V^m \) und \( \underline{w} = (w_1, w_2, ..., w_n ) \) von \( W^n \).

Jetzt lässt sich jedes Bild eines Basisvektors \( \sigma(v_i) \) als Linearkombination der Basis von \( W^n \) darstellen. (Steht im Script, aber warum? \( V^m \) und \( W^n \) haben doch nichteinmal dieselbe Dimension. )

Also lässt sich die Basis \( \underline{v} \) als Produkt einer Matrix S und der Basis \( \underline{w} \) darstellen: \( \sigma( \underline{v} ) = S \cdot \underline{w} \).

Also ist \( \sigma(x) = \sigma( \underline{x}^T \underline{v} ) = \underline{x}^T \sigma( \underline{v} ) = \underline{x}^T S \underline{w} = ( S^T \underline{x} )^T \underline{w} =: \underline{y}^T \underline{w} \) und \( \underline{y} = S^T \underline{x} \) ist der Koordinatenvektor des Bildes \( \sigma(x) \) bezüglich der Basis \( \underline{w} \)
 ( Warum des Bildes? Spricht man nicht vom Koordinatenvektor eines Vektors bezüglich einer Basis? Warum will man den Koordinatenvektor bezüglich des Bildes einer Basis???)

Die induzierte lineare Abbildung ist jetzt \( \sigma ': \mathbb{K}^m \rightarrow \mathbb{K}^n, \underline{x} \rightarrow S^T \underline{x} \). Wenn ich das richtig verstanden habe, gibt diese mir also jetzt für einen Koordinatenvektor eines Vektors x bezüglich der Basis \( \underline{v} \) den Koordinatenvektor eines Vektors x bezüglich der Basis \( \underline{ w } \) her. Stimmt das?

Und \( S^T \) ist jetzt die sogenannte Abbildungsmatrix/Darstellungsmatrix von \( \sigma \).

Ist also \( \sigma ' \) die eigentliche Abbildung, mit der man immer bei Koordinatentransformationen umgeht etc.?

Ich wäre auch sehr dankbar, wenn mir jemand ein einfaches Beispiel schreiben könnte, wie man die induzierte lineare Abbildung mit der Abbildungsmatrix aufstellt.

 

Vielen Dank,

Thilo

Answer 1

Induzieren heißt je lediglich bewirkt.

Kennst du die Matrizenmultiplikation ?

Wir haben eine Matrix A vom Typ 2x3 mit

A = [1, 0, 0; 0, 1, 0]

Diese Matrix induziert (bewirkt) eine lineare Abbildung 

y = A * x

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aus https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation

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Du kennst vielleicht die Definition einer Funktion. Eine Funktion ist eine Zuordnung, wobei jedem Element einer Definitionsmenge ein Element aus der Zielmenge zugeordnet wird.

Auch hier haben wir eine Definitionsmenge oder das Urbild und eine Zielmenge das Bild.

Bei unserer Matrix A wird ein 3 dimensionaler Vektorraum auf einen 2 dimensionalen Vektorraum abgebildet. Es handelt sich hier eigentlich nur um eine Parallelprojektion. Alle Punkte im R³ kann ich damit auf die x-y-Ebene abbilden..