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Bestimmen sie die n-te Ableitung von f(x):=logx , x>0
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Welche Basis hat bei euch log in f(x):=logx ?

Basis 10 ?

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f(x):=log10(x) ?

Wenn ja, dann

f'(x) = 1/(x*ln(10)) = (x*ln(10))-1

f''(x) nach Kettenregel -> f''(x) = (-1)*(x*ln(10))-2 *ln(10)= -ln(10)/(x*ln(10))2 = -1/(x2*ln(10)) = -(x2*ln(10))-1

f'''(x) nach Kettenregel -> f'''(x)= -(-1)*(x2*ln(10))-2*2*x*ln(10) = 2*x*ln(10)/(x2*ln(10))2 = 2/(x3*ln(10)) = 2*(x3*ln(10))-1

f''''(x) nach Kettenregel -> f''''(x)= (-1)*2**(x3*ln(10))-2*3*x2*ln(10) = -6(x4*ln(10))

....

Man erkennt folgendes:

1. Das Vorzeichen vor den Ableitungen ist alternierend.

2. Im Zähler ist die Folge [1, 2, 6, ..} erkennbar -> 1 = 1 , 2 = 1*2, 6 = 1*2*3 => sieht nach Fakultät aus

3. Im Nenner erhöht sich der Exponent von x schrittweise im 1 und ln(10) bleibt immer erhalten.

-> f(n)(x) = (-1)n - 1 *(n-1)!/(xn *ln(10)) für n = 1 (1. Ableitung) bis n = oo (oo. Ableitung)

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