Matrizen bestimmen von linearen Abbildungen

Question

Aufgabe:

Sei \( P_{k} \subset \mathbb{R}[X] \) der Raum der reellen Polynome vom Grad höchstens \( k \). Bestimmen Sie die Matrizen von folgenden linearen Abbildungen bezüglich der Basis \( \left(1, X, \ldots, X^{k}\right) \) von \( P_{k} \) :

(a) \( P_{k} \longrightarrow P_{k-1}, \quad f \longmapsto f^{\prime} \)

(b) \( P_{k} \longrightarrow P_{k+1}, \quad \sum \limits_{j=0}^{k} a_{j} X^{j} \longmapsto \sum \limits_{j=0}^{k} \frac{a_{j}}{j+1} X^{j+1} \) (Stammfunktion)

(c) \( P_{k} \longrightarrow P_{k}, \quad f(X) \longmapsto f(X+1) \)

Answer 1

a) pij = i wenn j = i + 1 ansonsten 0

Zum Beispiel für eine Matrix die die Ableitung einer kubischen Funktion macht.

[0, 1, 0, 0]
[0, 0, 2, 0]
[0, 0, 0, 3]

Probier das mal für ein paar Polynome aus wie das Funktioniert. Ich denke dann ist es ein Leichtes es hinzubekommen das du eine Matrix macht welches ein Polynom integriert.

Bei der dritten Aufgabe ist es günstig sich zu überlegen was aus

(x + 1)^n wird wenn man das ausmultiplizierst. Denke hier an das pascalsche Dreieck.

Comments

was soll die Nullzeile unten in deiner Matrix ?

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Wenn Du

a + bx + cx^2 + dx^3 hast also 4 Koeffizienten hast, dann hast du in der Ableitung nur noch 3 Koeffizienten. Die höchste Potenz 3 gibt es dann nicht mehr.

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dem hat der Aufgabensteller schon Rechnung getragen

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Achso. Der Grad der Vektoren nimmt auch ab. Hab ich da gar nicht drauf geachtet.

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wie würden denn die Matrizen aussehen?

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Mach mal einen Vorschlag. Eigentlich solltest du das selber hinbekommen. Wie es bei a) Funktioniert habe ich doch schon gezeigt. b) ist doch nur die Umkehrung.

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und wie gebe ich bei der matrix dann an welchen polynomgrad es ist?

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Unter a) Wird ein Polynom k. Grades in ein Polynom (k-1). Grades verwandelt.

Das heißt die Matrix muss von typ M^{k-1 x k} sein.Also k-1 Zeilen und k Spalten.

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heißt umkehrung dann eigentlich:

k+1 zeilen und k spalten

oder

k zeilen und k+1 spalten?

und bei c)

das pascalsche dreieck kenn ich ja, nur wie hilft mir das, denn wo ändert sich da was?

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k Spalten und k + 1 Zeilen.

Der Inputvektor hat k Einträge und der Outputvektor hat k + 1 Einträge.