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Gegeben sei der \( \mathbb{K} \)-Vektorraum \( V \) mit Basis \( B=v_{1}, v_{2}, v_{3} \) und die identische Abbildung \( I: V \rightarrow V, v \mapsto v \) sowie \( C=v_{1}+v_{2}, v_{2}+v_{3}, v_{3}+v_{1} \)

Bestimmen Sie
i) \( \mathcal{M}(I, B, B) \)
iii) \( \mathcal{M}(I, C, B) \)
ii) \( \mathcal{M}(I, B, C) \)
iv) \( \mathcal{M}(I, C, C) \)

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Aloha :)

Die Darstellungen der Identität bei gleicher Eingangs- und Ausgangsbasis ist geschenkt, weil sich durch die Identität an den Vektoren nichts ändert.

$$\text{zu i)}\quad{_B}\operatorname{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\text{zu iv)}\quad{_C}\operatorname{id}_C=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Die Basisvektoren von \(C=(v_1+v_2;v_2+v_3;v_1+v_3)\) sind mittels der Basisvektoren von \(B=(v_1;v_2;v_3)\) angegeben. Daher kennen wir die Übergangsmatrix der Identität von \(C\) nach \(B\). Ich kenne mich mit eurer Notation nicht aus, aber es müsste der Fall (ii) sein:$$\text{zu ii)}\quad{_B}\operatorname{id}_C=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)$$

In die andere Richtung, also von \(B\) nach \(C\) geht es mit der Inversen:$$\text{zu iii)}\quad{_C}\operatorname{id}_B=\left({_B}\operatorname{id}_C\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}\frac12 & \frac12 & -\frac12\\[1ex]-\frac12 & \frac12 & \frac12\\[1ex]\frac12 & -\frac12 & \frac12\end{array}\right)$$

Avatar von 148 k 🚀

Nabend,

vielen Dank Tschakabumba!!! :) Bist der Beste!!

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