3^2x - 12* 3^x + 27 = 0

Question

Kann mir jemand zeigen, wie man die Gleichung löst?

Answer 1

am besten zerlegen

12= 9+3    und  27 = 3*9 und so könnte es aussehen

(3^x -9) *(3^x -3)  ⇒ 3^2x -12 *3^x +27

⇒ 3^x= 9        x=2

⇒ 3^x = 3       x=1

Comments

Könntest du mir bitte erklären, wie man auf (3x -9) *(3x -3) kommt?

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Hi,

(3^x)² - 12* 3^x + 27 = 0

ist eine quadratische Gleichung über den Term 3^x. Sie kann mit allen Lösungsmitteln für quadratische Gleichungen nach 3^x umgestellt werden. Hier wurde dazu der Satz von Vieta benutzt, der bei einfachen Zahlen wie hier am wenigsten Arbeit macht.

Answer 2

3^2x - 12* 3^x + 27 = 0

 

3^2x kann man auch schreiben als (3^x)²

 

(3^x)² - 12 * 3^x + 27 = 0

Setze 3^x = Z  (SUBSTITUIEREN)

Hier noch für später nach x umstellen -->  log₃ (3^x ) = log₃(Z)   <--> x = log₃(Z)           (***)

 

(Z)² - 12 * Z + 27 = 0

Wende PQ - Formel an

Z_1/2 = 6 +- √(36-27) = 6 +- 3

Z₁  = 9

Z₂ = 3

Da X gesucht ist, musst du jetzt die obige Formel verwenden RÜCKSUBSTITUIEREN (***)

X₁ = log₃(9) = 2

X₂ = 1