Wann benutzt man den zentralen Grenzwertsatz?

Question

ich verstehe überhaupt nicht, wann ich den Zentralen Grenzwertsatz benutzen soll und wann nicht. Ich dachte, man benutzt den immer, wenn man eine große Stichprobe hat (also n>=30) und gleichzeitig nicht weiß, ob die Stichprobe normalverteilt ist oder nicht.

Aber jetzt hatten wir auch Aufgaben, wo man den ZGS benutzt hat, obwohl die Stichprobe klein war und man wusste, dass sie normalverteilt ist.

Ich weiß also nie, wann ich X ~ N (myu, Sigma) habe und wann ich X ~ N (myu, Sigma/Wurzel(n))

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, denn es ist wichtig & !

Answer 1

Der zentrale Grenzwertsatz besagt grundsätzlich, dass die Summe von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen annähernd normalverteilt ist. Der vorgenannte Grenzwertsatz lässt sich beispielsweise anwenden, um die Stichprobenverteilung bestimmter Maßzahlen anzugeben.

Hierfür gelten aber einige Bedingungen:

1. Der Umfang n sollte ausreichend groß sein (wie du oben schon geschrieben hast), gilt als Faustformel für n mindestens 30 .
2. Der Verteilungstyp muss nicht unbedingt bekannt sein und die Zufallsvariablen müssen auch nicht symmetrisch verteilt sein. Allerdings ist das Vorhandensein eine Varianz unbedingt erforderlich. Zudem sollte die Verteilung nicht ausarten.
3. Die Stichprobenvariablen müssen nicht voneinander stochastisch unabhängig sein.

Falls die Grundgesamtheit, aus der gezogen wird, normalverteilt ist (wie in deinem geschilderten Fall), kann die Stichprobe von kleinem Umfang sein (Spezialfall).