Du musst hier die Produktregel verwenden und bei den Ableitungen der Faktoren die Kettenregel beachten:
f(x) = (x-1)^2*e^{-x/2}
u = (x-1)^2 u' = 2*(x-1)
v = e^{-x/2} v' = -0.5 * e^{-x/2}
f ' (x) = 2(x-1)* e^{-x/2} + (x-1)^2 * (-0.5)*e^{-x/2} |e^ausklammern
= (2x - 2 + (-0.5)* (x^2 - 2x + 1)) * e^{-x/2}
= (2x - 2 - 0.5x^2 + x - 0.5) * e^{-x/2}
f '(x) = - (0.5x^2 - 3x + 2.5)*e^{-x/2} |fertig!
Andere Schreibweise: (-0.5) ausklammern und faktorisieren.
= -0.5 * (x^2 - 6x + 5)*e^{-x/2}
= -0.5*(x-1)(x-5)*e^{-x/2}
Die zweite Ableitung kannst du gleich machen.
f '(x) = - (0.5x^2 - 3x + 2.5)*e^{-x/2}
u = - (0.5x^2 - 3x + 2.5) u' = - (x - 3) = - x + 3
v, v' wie oben
f ''(x) = (-x+3)* e^{-x/2} - (0.5x^2 - 3x + 2.5) * (-0.5)*e^{-x/2} |e^ausklammern
=( (-x+3) - (0.5x^2 - 3x + 2.5)*(-0.5)) *e^{-x/2}
= (3-x + 0.25x^2 -1.5 x + 1.25) * e^{-x/2}
f ''(x) = (0.25x^2 - 2.5x + 4.25)*e^{-x/2} |fertig!
Wenn du die Wendepunkte brauchst, musst du diese Ableitung 0 setzen. Dabei kann nur das Polynom Null werden
Also statt
(0.25x^2 - 2.5x + 4.25)*e^{-x/2} =0
nur (0.25x^2 - 2.5x + 4.25) = 0 |: 0.25
x^2 - 10x + 17 = 0
pq Formel
x1,2 = 5 ± 2√2 in den Taschenrechner eingeben. f(x1) und f(x2) ausrechnen.
2) Für die Extremalstellen die erste Ableitung 0 setzen. Dafür ist die 2. Form der ersten Ableitung ideal
Andere Schreibweise: (-0.5) ausklammern und faktorisieren.
0 = -0.5 * (x^2 - 6x + 5)*e^{-x/2}
0 = -0.5*(x-1)(x-5)*e^{-x/2}
x1 = 1, x2 = 5
Beide x-Werte in f(x) einsetzen: Der höhere Wert ist das lokale Maximum der andere das lokale Minimum.
f(1) = 0 lokales Minimum und f(5) = etwas über 1 genauer noch ausrechnen: lokales Maximum. Kontrolle: Graph
3) limes x -> ± unendlich (x-1)^2*e^{-x/2}
Die Exponentialfunktion ist immer stärker als eine Polynomfunktion. Das vorhandene Polynom ist immer ≥ 0.
Daher
limes x -> unendlich (x-1)^2*e^{-x/2}
= limes x -> unendlich e^{-x/2} = 0
(von oben gegen x-Achse)
limes x -> - unendlich (x-1)^2*e^{-x/2}
= limes x -> - unendlich e^{-x/2} = + unendlich.
Alles noch nachrechnen!
