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(x-1)^2*e^{-x/2} die erste und zweite Ableitung

 

1) Wendepunkte

2) können sie mir auch die Extremstellen  zeigen.

Hoch- und Tiefpunkt und am Schluss den Graph

3) limes x----> unendlich
von

1 Antwort

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Du musst hier die Produktregel verwenden und bei den Ableitungen der Faktoren die Kettenregel beachten:

f(x) = (x-1)^2*e^{-x/2}

u = (x-1)^2         u' = 2*(x-1)

v = e^{-x/2}        v' = -0.5 * e^{-x/2}

f ' (x) = 2(x-1)* e^{-x/2}  + (x-1)^2 * (-0.5)*e^{-x/2}         |e^ausklammern

      = (2x - 2 + (-0.5)* (x^2 - 2x + 1)) * e^{-x/2}

      = (2x - 2 - 0.5x^2 + x - 0.5) * e^{-x/2}

 f '(x)     = - (0.5x^2 - 3x + 2.5)*e^{-x/2}              |fertig!

Andere Schreibweise:  (-0.5) ausklammern und faktorisieren.

  = -0.5 * (x^2 - 6x + 5)*e^{-x/2}

  = -0.5*(x-1)(x-5)*e^{-x/2}

 

Die zweite Ableitung kannst du gleich machen.

f '(x)     = - (0.5x^2 - 3x + 2.5)*e^{-x/2}

u = - (0.5x^2 - 3x + 2.5)            u' = - (x - 3) = - x + 3

v, v' wie oben

f ''(x)  = (-x+3)* e^{-x/2}   - (0.5x^2 - 3x + 2.5) * (-0.5)*e^{-x/2}         |e^ausklammern

      =( (-x+3) - (0.5x^2 - 3x + 2.5)*(-0.5)) *e^{-x/2}

      = (3-x + 0.25x^2 -1.5 x + 1.25) * e^{-x/2}

f ''(x)     = (0.25x^2 - 2.5x + 4.25)*e^{-x/2}              |fertig!

 

Wenn du die Wendepunkte brauchst, musst du diese Ableitung 0 setzen. Dabei kann nur das Polynom Null werden

Also statt

 (0.25x^2 - 2.5x + 4.25)*e^{-x/2}    =0

nur (0.25x^2 - 2.5x + 4.25)   = 0        |: 0.25

x^2 - 10x + 17 = 0

pq Formel

x1,2 = 5 ± 2√2   in den Taschenrechner eingeben. f(x1) und f(x2) ausrechnen.

 

2) Für die Extremalstellen  die erste Ableitung 0 setzen. Dafür ist die 2. Form der ersten Ableitung ideal

 

Andere Schreibweise:  (-0.5) ausklammern und faktorisieren.

0  = -0.5 * (x^2 - 6x + 5)*e^{-x/2}

0  = -0.5*(x-1)(x-5)*e^{-x/2}

x1 = 1, x2 = 5

Beide x-Werte in f(x) einsetzen: Der höhere Wert ist das lokale Maximum der andere das lokale Minimum.

f(1) = 0 lokales Minimum und f(5) = etwas über 1 genauer noch ausrechnen: lokales Maximum. Kontrolle: Graph

 

3) limes x -> ± unendlich (x-1)^2*e^{-x/2}

Die Exponentialfunktion ist immer stärker als eine Polynomfunktion. Das vorhandene Polynom ist immer ≥ 0.

Daher  

limes x -> unendlich (x-1)^2*e^{-x/2} 

 

=  limes x -> unendlich e^{-x/2} = 0

(von oben gegen x-Achse)

 

 limes x -> - unendlich (x-1)^2*e^{-x/2} 

 

=  limes x -> - unendlich e^{-x/2} = + unendlich.

 

 

Alles noch nachrechnen!

 

 

 

von 162 k 🚀
1)      bei der 2. ableitung  haben sie                 2) können sie mir auch die Extremstellen  zeigen

= (3-x + 0.25x^2 -1.5 x + 1.25) * e^{-x/2}                 Hoch und Tiefpunkt und am schluss den Grapf

f ''(x)     = (0.25x^2 + 2.5x - 4.25)*e^{-x/2}                3) limis x geht durch unendlich

aber bei mir ist es so rausgekommen                         

= (3-x + 0.25x^2 -1.5 x + 1.25) * e^{-x/2}                             viellllllllllleeen Dankkk!

f"(x) = e^{-x/2}*(4,25-2,5x+0,25x^2)

            weil       3-1,25 = 4,25 und

                         -x-1,5x = kommt -2,5x raus oder...

                          und 0,25x^2 bleibt normal
Danke für den Hinweis. Ich hab jetzt die Vorzeichen korrigiert.
=  limes x -> unendlich e^{-x/2} = 0

(von oben gegen x-Achse

also ich hab das so ausgerechnet

lim x-> unendlich (x-1)^2*e(-x/2)= (unendlich - 1)^2*e(-unendlich/2)= (unendlich)^2*e(-unendlich/2)

                                                                                                                        = unendlich*e(-unendlich/2)

                                                                                                                        = 1/ e(unendlich/2)

                                                                                                                    = kommt da jetzt null raus

                                                                                                                       und wenn ja warum

da hab ich jetzt ergebnisse von hoch ,tiefpunkt und wendestellen können sie es bitte kontrollieren danke

1) H(5/1,31)     2) T(1/0)

1)W1(7,82/0,932)     2) W2(2,17/0,459) wenns passt können sie es mir den Grapf zeichnen

soooorryyyyy dass ich zu viele Fragen stelle
Deine Resultate sind eingezeichnet. Sieht gut aus.

 

Mit dem Grenzwert kannst du folgendermassen überlegen (schreiben solltest du das aber nicht unbedingt. Gleich das Resultat sieht mathematischer aus):

unendlich / 2 = unendlich.

e^unendlich = unendlich

1/ e(unendlich/2) = 1/e^unendlich = 1/unendlich → 0

Zähler immer 1. Der Bruch wird beliebig klein, wenn der Nenner beliebig gross wird.
hab noch eine Frage

Auf der Grapf (y-Achse)

wie kommen sie auf (1/0) diesen Strich nach oben

und die letzten zwei Fragen

Monotonie und Krümmung

also bei mir ist es so

Monotonie:                                                             Krümmung:

]-unendlich,1[ streng monoton fallend          ]-unendlich,2,17[ positiv/ linksgekr

]1,5[ streng monoton steigend                       ]2,17,7,8[ negativ/ rechtsgekr.

]5,unendlich[ streng monoton fallend           ]7,8,unendlich[ negativ / rechtsgekr.
soooooorrrrryyy ich meine (0 und 1)

"Auf der Graph (y-Achse)

wie kommen sie auf (1/0) diesen Strich nach oben" 

Du meinst wohl (0,1) den y-Achsenschnittpunkt.

Hier muss man in der Funktionsgleichung x=0 einsetzen.

f(0) = 1 * e^0 = 1*1 = 1

"und die letzten zwei Fragen

Monotonie und Krümmung

also bei mir ist es so

Monotonie:                                                             Krümmung:

]-unendlich,1[ streng monoton fallend          ]-unendlich,2,17[ positiv/ linksgekr

]1,5[ streng monoton steigend                       ]2,17,7,8[ negativ/ rechtsgekr.

]5,unendlich[ streng monoton fallend           [7,8,unendlich[ negativ / rechtsgekr."

ist beides ok 

Ich habe bei der Krümmung noch die Stelle 7.8 ergänzt (rote Klammer). Grund: Ableitung an dieser Stelle auch negativ.

Hier muss man in der Funktionsgleichung x=0 einsetzen.

f(0) = 1 * e^0 = 1*1 = 1

warum muss ich da 0 einsetzen muss ich das immer machen

muss ich bei jedem Beispiel 0 in die ursprungliche Funktion einsetzen

oder ist es nur bei dem Beispiel
Das kannst du mit jeder Funktion so machen. Lies mal https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion genau durch.
da haben sie geschrieben Zaehler immer 1. der bruch wird beliebig klein,wenn der nenner beliebig gross wird das verstehe ich nicht so ganz koennen sie mir einen beispiel geben danke
Beispiel:

1/10 = 0.1

1/100 = 0.01

1/1000 = 0.001

usw. Grenzwert (Zähler 1 und Nenner gegen unendlich) ist 0.
ok also das heisst bei lim x geht durch unendlich kommt immer 0 raus wenn nicht was kann noch alles rauskommen

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