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Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die Nullstellen, die Extremstellen und die Wendepunkte der Funktion: f(x) = (x²-5)e^(-x/2)
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Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die Nullstellen, die Extremstellen und die Wendepunkte der Funktion:

f(x) = (x^2 - 5) * e^(-x/2)

f '(x) = - 0.5·e^(- 0.5·x)·(x^2 - 4·x - 5)

f ''(x) = 0.25·e^(- 0.5·x)·(x^2 - 8·x + 3)

Es gibt keine Einschränkungen des Definitionsbereiches daher D = R

Nullstellen: f(x) = 0
(x^2 - 5) = 0
x = 
± √5 = ± 2.236067977

Extremstellen: f '(x) = 0
x^2 - 4x - 5 = 0
x = -1 und x = 5

f(-1) = - 4·√e = -6.594885082
f(5) = 20·e^(- 5/2) = 1.641699972

Wendestellen f ''(x) = 0

x^2 - 8·x + 3 = 0
x1 = 0.3944487245 und x2 = 7.605551275

f(0.3944487245) = -3.977291828
f(7.605551275) = 1.178893517

Skizze:

Beantwortet von 260 k
Vielen lieben Dank an Der_Mathecouch :) Ich habe leider noch eine Frage. Könnten Sie mir bitte einmal erklären wie Sie auf die Ableitung von e^(x/-2) gekommen sind? Ich sehe da leider gar nicht durch.

Die Ableitung von

e^(-x/2) = e^(-1/2*x)

ist nach der Kettenregel

e^(-1/2*x) * (-1/2) = -0.5e^(-x/2)

Die Ableitung von (x^2 - 5) * e^(-x/2) mache ich dann mit der Produktregel. Brauchst du da auch noch eine genaue Rechnung zum Nachvollziehen oder schaffst du das alleine?

Ehrlich gesagt verstehe ich nicht wie du auf die -4x kommst bei f(x)=-0,5e^(-0,5x)*(x²-4x-5).

Ich weiss die Produktregel ist:  u´ *v+ u* v´.

Also: 2x * e ^ (-x/2) + x²-5 * -0,5e ^(-0,5x)

oder lieg ich da falsch?

f(x) = (x^2 - 5) * e^(-x/2)

f '(x) = 2x * e^(-x/2) + (x^2 - 5) * e^(-x/2) * -1/2

Jetzt das e^() ausklammern

f '(x) = e^(-x/2) * (2x - 1/2 * (x^2 - 5))

f '(x) = e^(-x/2) * (2x - 1/2 x^2 + 5/2))

Nun kann man aber am besten den Faktor -0.5 auch noch ausklammern, damit ich in der Klammer keine Brüche mehr habe.

f '(x) = -0,5 * e^(-x/2) * (- 4x + x^2 - 5)

f '(x) = -0,5 * e^(-x/2) * (x^2 - 4x - 5)

Das sind hier also eher Design-Tricks um die Funktion möglichst einfach zu schreiben. Das ausklammern der e-Funktion ist aber sinnvoll und unabdingbar, wenn man später auf Nullstellen untersuchen möchte.

Ok. Ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Zum Test hier jetzt eine andere Aufgabe:

f(x)= (x² - 6) * e^-2x

e^-2x= -2e^-2x

f´(x)=( 2x + e^-2x )*( (x²-6) + e^-2x -2)

f´(x)= e^-2x * (2x -2 * (x²-6))

f´(x)= e^-2x * (2x -2x² +12)

f´(x) = -2e^-2x (-1x +x² -6)

f´(x) = -2e^-2x (x² -1x-6)

 

f´´(x)= e^-2x (x²-5x-4)

Ist das jetzt richtig?
Überdenke bitte noch einmal die Anwendung der Produktregel

f(x) = e^(- 2x) * (x^2 - 6)

f '(x) = -2 * e^(- 2x) * (x^2 - x - 6)

f ''(x) = 2 * e^(- 2x) * (2x^2 - 4x - 11)

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