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Produkt mit eFunktion: f:[-2,3]->lR f(x)=x²*e^{-x}. Bestimmen von lokalen und globalen Extrema
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Die Aufgabe ist es, die lokalen und globalen Extrema der Funktion f:[-2,3]->lR f(x)=x²*e^-x zu bestimmen. Würde mich hier sehr über einen ausführlichen Rechenweg freuen, gerade da ich noch nicht ganz verstanden habe wie man am besten vorgeht um die lokalen Extrema zu bestimmen.
produktregel
e-funktion
lokale
extrema
kurvendiskussion
intervall
global
Gefragt
24 Jul 2014
von
Gast
Weil x^2*e^{-x} = x^2/ e^x, ist deine Frage eine Vereinfachung von:
https://www.mathelounge.de/134142/kurvendiskussion-extremalstellen-von-f-x-x-x-2-e-x-berechnen
Lies vielleicht die Antwort dort schon mal durch und verfolge die Rubrik 'ähnliche Fragen' solange du hier warten musst.
📘 Siehe "Produktregel" im Wiki
1
Antwort
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Beste Antwort
f ( x ) = x^2 * e^{-x}
Produktregel fürs Ableiten
zunächst
[ e^{Term} ] ´ = e^{Term} * ( term ´ )
f ´( x ) = 2 * x * e^{-x} + x^2 * e^{-x} * (-1)
f ´( x ) = 2 * x * e^{-x} - x^2 * e^{-x}
f `( x ) = e^{-x} * x * ( 2 - x )
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens 1 der Faktoren 0 ist.
e hoch ist immer ungleich 0
x = 0
2 - x = 0
x = 2
Funktionswerte
f ( 0 ) = 0^2 * e^{-0} = 0
( 0 | 0 )
f ( 2 ) = 2^2 * e^{-2} = 0.54
( 2 | 0.54 ) oder ( 2 | 4 / e^2 )
Montonie > 0
f `( x ) = e^{-x} * x * ( 2 - x ) > 0
x * ( 2 - x ) > 0
x > 0 und 2 - x > 0
x > 0 und x < 2
0 < x < 2 ( steigend )
oder
x < 0 und 2 - x < 0
x < 0 und x > 2
kein gemeinsamer Bereich
Montonie < 0
f `( x ) = e^{-x} * x * ( 2 - x ) < 0
x * ( 2 - x ) < 0
x > 0 und 2 - x < 0
x > 0 und x > 2
x > 2 ( fallend )
oder
x < 0 und 2 - x > 0
x < 0 und x < 2
x < 0 ( fallend )
bis x = 0 fallend
von 0 bis 2 steigend
ab x = 2 fallend
( 0 | 0 ) ist ein Tiefpunkt
( 2 | 4 / e^2 ) ist ein Hochpunkt
Manche Nachweise können auch anders geführt werden
( 2.Ableitung )
Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.
mfg Georg
Beantwortet
24 Jul 2014
von
georgborn
122 k 🚀
Deine Antworten haben echt immer einen sehr schönen Umfang, optimal!
Ein riesen Dankeschön von mir an dich :)
die Antworten haben bei mir 2 Funktionen
a.) dem Fragesteller soll weitergeholfen werden
b.) bei mir selbst soll der Geist fit gehalten werden.
Interessant ist auch wieviel verschiedene Methoden in einer
Aufgabe angewendet werden
Produktregel
allgemeine Ableitung der e-Funktion
Null Produkt Satz ( 0 * 0 * 0 bleibt null )
Faktorisierung
Einsatz der Monotonie zur Bestimmung
der Art der Extrempunkte.
Fallunterscheidungen
mfg Georg
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