Durch Aufspalten von s2n (p) in Beiträge geraden und ungeraden Indizes zeige man die Identität

Question

Durch Aufspalten von s_2n (p) in Beiträge von Geraden und ungeraden Indizes zeige man die Identität

∑(von k=1 bis n)?(2k - 1)^p = s_2n (p) - (2^p) s_n (p)

Was ergibt sich für p ∈ {1,2,3}?

Comments

Was genau sind diese s_n?

Warum ein ? in der Formel links?

Sieht irgendwie nach Binomialkoeffizienten aus, kann es aber nicht wirklich zuordnen.

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Ja, es sind Binomialkoeffizienten

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Hier https://www.mathelounge.de/115582/zeigen-sie-zu-jedem-q-≥-1-existieren-rationale-zahlen steht nun aber  s_n(p) = _{k =}ⁿ₁Σ k^p

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Hatte es halt als Binomialkoeffizienten verstanden, weil es vorher eine Aufgabe dazu gab.

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Es kann ja eigenltich nicht sein, dass da plötzlich etwas kommt, das ihr nie definiert habt.

Zu Binomialkoeffizienten findest du ein paar Identitäten bewiesen hier:
https://www.mathelounge.de/6486/alternierende-summe-von-binomialkoeffizienten-k-0-bis-n

Gerade und ungerade heben sich auf.

und
https://www.mathelounge.de/6233/folgern-sie-aus-dem-binomischen-lehrsatz

scheint mir besonders wichtig.

Verfolge dort die 'ähnlichen Fragen'.

Hoffe, das hilft.

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Werde mich Morgen nochmal genauer damit auseinandersetzen. Dann habe ich vielleicht neue Ideen und sicher mehr Energie als jetzt noch. Werde auch noch mal die alten Sachen durchgehen, vielleicht habe ich ja was übersehen.

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∑(von k=1 bis n)?(2k - 1)^p = s_2n (p) - (2^p) s_n (p)

Was ergibt sich für p ∈ {1,2,3}?

Ich nehme mal n={1,2,3} statt p

mit der Definition, die du gar nicht kennst.

n=1

1^p  = 1^p + 2^p - 2^p*1^p                   Das wäre mal richtig.

n=2

1^p + 3^p = 1^p + 2^p + 3^p + 4^p - 2^p*(1^p + 2^p)

                     = 1^p + 2^p + 3^p + 4^p - 2^p - 4^p)         Wäre auch richtig.

n=3

1^p + 3^p + 5^p = 1^p + 2^p + 3^p + 4^p + 5^p + 6^p - 2^p*(1^p + 2^p + 3^p)

                           =  1^p + 2^p + 3^p + 4^p + 5^p + 6^p - 2^p - 4^p -6^p)

                              stimmt auch.

Das scheint nun eine relativ triviale Behauptung zu sein. Versuche das vielleicht mit vollst. Induktion.

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Was ist denn jetzt s_n?

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Vom Duplikat:

Titel: Das aufspalten von Indices

Stichworte: analysis

Aufgabe:

Durch Aufspalten von s_2n (p) in Beiträge von geraden und ungeraden Indices zeige
man die Identität

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{(2k-1)^p} \)   = s_2n(p) - 2^(p)s_n(p)

Was ergibt sich hieraus für p ∈ {2, 3}, wenn Sie die Ergebnisse aus Aufgabe 3 verwenden?
(Anmerkung: Für p = 1 sollten Sie wieder Ihr Ergebnis aus Aufgabe 4 erhalten.)

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich absolut nicht wie ich diese Aufgabe lösen kann.

Ich bitte um hilfe