Definitionsbereich von geraden und ungeraden Funktionen

Question

Hallo! Ich würde mich freuen, wenn mir einer bei der Aufgabe helfen könnte :)

Aufgabe:

$$f(x)=\frac{x^{2}(x-3)(x+3)+2}{(sin(x))^{2}}+cos(3x+6π)$$

Wie kann ich hier den größtmöglichen Definitionsbereich f bestimmen? Es gilt: $$D_{f} \text{ Teilmenge von }  \mathbb{R}$$

Woher weiß ich, ob f eine gerade oder ungerade Funktion ist?

Answer 1

Def.menge: einziges Problem ist der Nenner.

Der darf nicht 0 sein. Du musst also überlegen,

wann sin^2(x) = 0 . Das ist genau dann der Fall, wenn sin(x)=0

und das ist, wenn x ein Vielfaches von pi ist.

Also D_f = ℝ \ { n*π | n ∈ ℤ }

gerade oder ungerade entscheidest du durch die Berechnung von f(-x)

$$f(-x)=\frac{(-x)^{2}(-x-3)(-x+3)+2}{(sin(-x))^{2}}+cos(-3x+6π)$$

Das musst du jetzt im Einzelnen betrachten (-x)^2 = x^2

(-x-3)= -(x+3)   und (-x+3) = - (x-3) also

(-x-3)(-x+3) = (x-3)(x+3)    und sin(-x) = - sin(x)

und cos(-3x +6π) = cos(-3x) =cos(3x)=   cos(3x+6π)
[ Summanden, die Vielfache von 2pi sind, ändern nix}

Also insgesamt :

$$f(-x)=\frac{(-x)^{2}(-x-3)(-x+3)+2}{(sin(-x))^{2}}+cos(-3x+6π)$$

$$=\frac{(x)^{2}(x-3)(x+3)+2}{(sin(x))^{2}}+cos(3x+6π) = f(x)$$

Also ist f gerade.