Zum Abschluss, die wunderbaren Logarithmusfunktionen: f(x)= sin(x)/cos(x) integrieren:

Question

Jetzt noch die Logarithmusfunktionen durchgehen!

Ich soll f mit f(x)= sin(x)/cos(x) integrieren. Laut Buch ist die Lösung: F(x) = -ln (I cos(x)I).
Mein Ansatz: u(x) = sin(x) ; v(x) = cos(x).
Wenn ich integrieren würde erhalte ich: U(x)= -cos(x) und V(x)= sin(x).

Wie komme ich da jetzt auf F(x) = -ln (I cos(x)I)?
Ich habe bis jetzt noch nie eine Stammfunktion von Logarithmusfunktionen gebildet oder abgeleitet.

Ganz nebenbei: f(x)= sin(x)/cos(x) abgeleitet müsste f'(x)= 1 - tan²(x) ergeben?

Grüße :-)

Comments

Hi, Du kannst hier nicht komponentenweise integrieren, das geht bei Summen oder Differenzen, sonst eher selten!

Answer 1

f(x)= sin(x)/cos(x) 

Subst. u = cos(x)

du/dx = -sin(x)

du = -sin(x) dx

 ∫ sin(x)/cos(x) dx

= ∫ (-1/ cos(x)) *(-sin(x)) dx

=  ∫ (-1/u) du

= -ln(|u|) + C    

= -ln(|cos(x)|) + C

Comments

Ich habe bis jetzt noch nie eine Stammfunktion mit Logarithmusfunktionen gebildet oder abgeleitet. 

Du solltest hier wissen, dass ∫ 1/x dx = ln|x| + C

f(x) = x^{-1} kann man nicht mit der Integrationsregel für Potenzfunktionen integrieren. Der Exponent (-1) ist da die einzige aber wichtige Ausnahme.

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Ich habe gelesen, dass man mit  u'(x) / u(x) ebenfalls die Stammfunktion bilden kann.

Beispiel: f(x)= x³ / (x⁴ + 1)
Dann folgt: 1/4 * 4x³ / (x⁴ + 1)
Und schließlich: 1/4 ln (x⁴ + 1).

Verstehe ich richtig, dass man von u(x) die Ableitung berechnet, diese dann integriert und nur den Zähler übernimmt?

Gruß :-)

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Hi, das wird manchmal als logarithmisches Integrieren bezeichnet und ist, wenn man so will, ein Spezialfall der Integration durch Substitution. Mit ∫sin(x)/cos(x)dx = −∫−sin(x)/cos(x)dx hättest Du die Voraussetzungen dazu.

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Yay Hab's verstanden, danke euch! So jetzt wird sich erstmal ausgeruht, 8 Stunden Mathe reichen für heute :-D Gute Nacht euch :-)

Answer 2

Subt. : ∫ - 1/u du  -----> - ∫ 1/u du

1/u liefert  ln (u) , Rücksub.: - ln(u)  -----> - ln(cos (x))

Answer 3

da hilft die Substitution  u:=cos(x)

Dann ist  du/dx = - sin(x)    bzw.  - sin(x) dx = du

Damit kommt man zum Integral 

$$ \int \frac{sin(x)}{cos(x)}\,dx\ \ = \ \int \ -\frac{1}{u}\,du   $$

Mit dem Integrieren kommt man zu einem Logarithmusausdruck (Betragszeichen nicht vergessen !)

Danach rücksubstituieren.

LG ,   Yakob