Rentenberechnung (Einzahlung, unterjährige Zahlung, vorschüssig)

Question

Ich habe hier eine Finanz-mathematische Aufgabe:

Welchen Betrag muss man 10 Jahre lang jeweils zum Quartalsanfang auf ein Konto einzahlen, damit sich das heute schon vorhandene Guthaben von 50.000€ bei einem jährlichen Zinssatz von 4,5% um nach 10 Jahren verdoppelt hat?

1. Wir haben es hier mit einer dauerhaften Einzahlung zu tun.

2. So laut wie ich die Aufgabe verstanden habe...sind am Anfang auf dem Konto 50.000€ drauf und die werden mit mehreren Einzahlungen und  Zinseszinseffekt belastet.

3. nach 10 Jahren soll die Summe 100.000€ sein.

4.die Einzahlung ist am Quartalsanfang  also unterjährig und vorschüssig.

Ich glaube die Formel hilft :

Kn=E*(m+(p*(m+1)/200))*(qⁿ-1/q-1)

Legende: E ist Einzahlungen (das wird gesucht), Kn ist Endkapital also 100.000€, m sind die Monate also hier sind es 4 ,weil per Quartal, m+1 ist vorschüssig, p ist 4,5 , q ist 1,045 , n ist 10

Ich muss es halt auf E umstellen nur wenn bis hier alles richtig ist wie bekomme ich dann die 50.000 mit in die Formel rein?

Weil Ko (Anfangskapital) ist in der Formel nicht enthalten.

Answer 1

Hi, Deine Gleichung für den Rentenanteil ist soweit richtig, auch wenn die darin bereits vorgenommenen Zusammenfassungen ein wenig den Durchblick vernebeln. Ich setze die gegebenen Werte ein, ergänze fehlende, aber notwendige, Klammern, füge das mit Zinseszins zu verzinsende K₀=50000 hinzu und setze das ganze mit K_n=100000 gleich. Das ergibt die Bestimmungsgleichung (Sparkassenformel) für die vierteljährlich vorschüssig zu zahlende Einzahlung E:

E*(4+(4.5*(4+1)/200))*((1.045^10-1)/(1.045-1)) + 50000*1.045^10 = 100000

Daraus ergibt sich durch Umstellen E = 442.2957051 Euro ≈ 442.30 Euro.

(alle Angaben ohne Gewähr!) :-)

Kontrolle und weitere Informationen bei Zinsen-berechnen.de:
http://www.zinsen-berechnen.de/sparrechner.php?paramid=eem1hjrfdk

Comments

Das Ergebnis ist richtig! Danke

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Üblicherweise rechnet man  mit dem Quartalszinsfaktor q bei den vierteljährlichen Einzahlungen E .

q = 1,045^{1/4} = 1,01106...

Daraus ergibt sich folgender Ansatz für die vierteljährliche Einzahlung E:

100000 = 50000*1,045^10 + E*q*(q^40-1)/(q-1)

E = 442,36 

@Mathekp:

Ich kann diesen Teil nicht nachvollziehen:

E*(4+(4.5*(4+1)/200))*((1.045¹⁰-1)/(1.045-1))

Warum rechnest du mit dem Jahreszins bei den Einzahlungen? Komisch nur, dass du zum fast gleichen Ergebnis kommst.

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Hi, der Faktor E*(4+(4.5*(4+1)/200)) beschreibt den Wert der unterjährig vorschüssig eingezahlten und verzinsten Beträge am Ende eines Jahres.

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Das ist mir schon klar. Nur wie kommt man auf diese ungewöhnliche Formel ? Ich kann sie nicht nachvollziehen.Woher kommen z.B. das  (4+1) und der Nenner 200 ?
Mit dem konformen Quartalszinsfaktor zu rechnen halte ich für anschaulicher und besser nachvollziehbar.

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Die Herleitung wäre etwa:

E*(1 + (4/4)4.5/100) + E*(1 + (3/4)*4.5/100) + E*(1 + (2/4)*4.5/100) + E*(1 + (1/4)*4.5/100)) =

E*((1 + (4/4)*4.5/100) + (1 + (3/4)*4.5/100) + (1 + (2/4)*4.5/100) + (1 + (1/4)*4.5/100))) =

E * ( 4 + 4.5 * (4/4 + 3/4 + 2/4 + 1/4) / 100 ) =

E * ( 4 + 4.5 * ((4+1)*2/4) / 100 ) =

E * ( 4 + 4.5 * (4+1) / 200 ).

Das ist in der Tat ein wenig undurchsichtig, findet sich aber wohl gelegentlich als Formel wieder.

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Herzlichen Dank. für deine Ausführungen. Ich werde bei meiner Formel bleiben. Die erscheint mir einleuchtender und einfacher. :))

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Ich hatte die Formel und den Rechenweg aus der Frage entnommen. Ansonsten sollte es im wesentlichen egal sein, ob die Quartalszahlungen auf ein Jahr umgerechnet werden oder der Jahreszinssatz auf ein Quartal. Doch wie lassen sich die 6 Cent Differenz erklären?