Stochastik: Wahrscheinlichkeit bei mehreren Würfeln bestimmte Zahl zu bestimmten Prozentsatz zu werfen.

Question

Ich habe folgendes Problem:
Ich benötige die Wahrscheinlichkeit (p) bei einer bestimmte Würfelanzahl/-menge (x) eine bestimmte Zahl (y) zu zumindest einem bestimmten Prozentsatz (z) zu werfen/bekommen.

a) Der Einfachheit halber gehe ich dabei von regulären 6-seitigen Würfeln aus.
b) Es geht um einen bestimmten Wert (z.B. y=6) pro Würfel und nicht um den Augenwert mehrer Würfel. Um welchen genauen Wert es geht, sollte ja eigentlich irrelevant sein, solange es immer einer ist, oder?
c) Der Prozentsatz (z) soll überschritten werden, also >z und nicht genau = und auch nicht >=.
     Hier würde ich gerne der Einfachheit halber mit z = 50% rechnen, also >50%.

Zusammengefasst:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass bei x Würfeln mehr(!) als die Hälfte eine 6 zeigen?


eigener Ansatz:
Für einen oder zwei Würfel (x=1 oder x=2) ist es, denke ich, recht einfach, da >50% alle bedeutet.
x=1  -->  p=1/6  also ca. 16,7%
x=2  -->  p=1/36  also ca. 2,8 %

Aber bei drei (x=3) bin ich mir schon nicht mehr sicher, dann müssten min. 2 der 3 Würfel eine 6 zeigen, also:
1. und 2. W zeigen eine 6: 5/216  ( 1/6 * 1/6 * 5/6 )
1. und 3. W zeigen eine 6: 5/216
2. und 3. W zeigen eine 6: 5/216
1. und 2. und 3. W zeigen eine 6: 1/216  ( 1/6 * 1/6 * 1/6 )
-->  16/216 also ca. 7,4%
die Wahrscheinlichkeit steigt also im Vergleich zu x=2 wieder deutlich an?!?

1.) Kann mir jemand bitte die korrekte Berechnung zeigen/erklären.
2.) Mir bitte erklären, warum die Wahrscheinlichkeit wieder ansteigt (wenn dies denn so korrekt sein sollte).
3.) Mir bitte eine möglichst einfache/kompakte Formel aufzeigen mit der ich dies für variable x auflisten/ausrechnen kann, um diese Berechnung dann z.B. in einer Excel-Tabelle oder Java-Programm implementieren zu können.
4.) Eine solche Formel ggf. auch noch mit variablen z aufzeigen kann.

Vielen

Comments

Kannst du das HTML-Zeugs am Schluss noch rauslöschen oder gehört das zur Frage?

Ich vermute, dass du da mit der Binomialverteilung rechnen kannst. Google das vielleicht schon mal.

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Ja klar, ist entfernt, sorry.

Vielen Dank für die schnelle Antwort und den Hinweis in die wohl richtige Richtung.

Aber, uuff, Binomialverteilung usw., das ist schon echt tough (also für mich).

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Bitte. Gern geschehen!

Binomialverteilung muss wohl schon sein, wenn du nicht alles von Hand auszählen möchtest.

Für die Programmierung solltest du ( n tief k) möglichst nicht als (n! / (k! * (n-k)!) rechnen, weil die Fakultäten riesige Zahlen geben. Ein gutes Programm kürzt da geschickt.

Answer 1

Ich rechne mal das hier aus:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass bei 6 Würfeln mehr(!) als die Hälfte eine 6 zeigen? 

P = P(genau 4 sechsen) + P(genau 5 Sechsen) + P(6 Sechsen)

= (1/6)^4 * (5/6)^2 * (6 tief 4) + (1/6)^5 * (5/6)^1 * (6 tief 1) + (1/6)^6 

(6 tief 4) und (6 tief 5) sind sogenannte Binomialkoeffizienten. Sie geben an, wie viele 4 resp. 5- elementige Teilmengen eine Menge mit 6 Elementen enthält. D.h. in dieser Aufgabe, auf wieviele Arten die 4 (oder 5) Sechsen auf die 6 Würfel verteilt sein können.

Berechne dein P nun z.B. mit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F6%29%5E4+*+%285%2F6%29%5E2+*+%286+choose+4%29+%2B+%281%2F6%29%5E5+*+%285%2F6%29%5E1+*+%286+choose+1%29+%2B+%281%2F6%29%5E6+

Comments

Wau, super

1.) Eine "einfache" Formel für Excel kann ich mir also wohl (zumindest für meinen Bedarf) abschminken, danke.

2.) Wenn ich die Berechnung richtig interpretiere liegt also schon bei 6 Würfeln p unter 1% (0,87%), korrekt? Wenn es mir also nur um grobe Werte geht, kann ich also alles ab 6 Würfeln (x>6) so oder so als p=0% vernachlässigen.

3.) Dann müsste ich also "nur" noch p für x= 4 und 5 berechnen, oder übersehe ich da was? War denn meine Berechnung für x=3 überhaupt korrekt, oder habe ich da schon meine Unkenntnis hinlänglich bewiesen?

4.) Könntest Du mir bitte ggf. noch möglichst allgemein erklären warum die Wahrscheinlichkeit wieder ansteigt?

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Zitat: 1.) Eine "einfache" Formel für Excel kann ich mir also wohl (zumindest für meinen Bedarf) abschminken.

Sowas geht auch mit Excel. Allerdings habe ich Schwierigkeiten, mir vorzustellen, was Du genau berechnet haben möchtest...

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jc766 sucht die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Würfeln mindestens die Hälfte 6en sind.

Bei 1 Würfel: 1 6er

Bei 2 Würfeln: 2 6er

Bei 3 Würfeln: 2 oder 3 6er

Bei 4 Würfeln: 3 oder 4 6er,

Bei 5 Würfeln: 3 oder 4 oder 5 6er.

usw.

Das schwankt halt zumindest zu Beginn, weil sich  bei einer ungeraden Würfelzahl gerade die Fallzahl erhöht, während bei einer geraden Würfelzahl die Einzelwahrscheinlichkeiten eher kleiner werden.

Zumindest habe ich  die vorhandenen Rechnungen so verstanden.

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Also mehr als die Hälfte 6en!

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x = Anzahl der Würfel
x=1 --> p=1/6       also ca. 16,7%
x=2 --> p=1/36      also ca.  2,8%
x=3 --> p=16/216    also ca.  7,4%
x=4 --> p=21/1296   also ca.  1,6%
x=5 --> p=276/7776  also ca.  3,5%
x=6 --> p=203/23328 also ca.  0,9%

d.h. wenn ich es jetzt richtig verstehe und keine groben Rechenpatzer geleistet habe, kann ich x=7 doch nicht vernachlässigen, da > 1% (ich tippe nach der Serie mal auf 1,5 oder 1,6%), aber alles danach (x>7) wird dann unter 1% fallen, bzw. stark auf die Vorkommastelle gerundet, könnte ich wohl nach der Serie noch x=8 und x=9 mit 1% angeben, aber dann dürfte ich auch stark gerundet bei <1% liegen.

Diese Wertereihe würde so für meine Zwecke vollkommen reichen, daher vielen Dank für die Hilfe und keine weiteren Mühen!

Und ja, auch ich meine jetzt zu verstehen, woher die Schwankungen kommen. Durch die Vorgabe z>50% wird bei den ungraden x eine weitere Möglichkeit für 6 geboten, d.h. die Ja-Variante erhält mehr Optionen, während für meine Fragestellungen die Nein-Varianten aber nicht relevant sind.

Wenn sich hier allerdings ein Denk- und/oder Rechenfehler verstecken sollte, bitte ich darum mich aufzuklären, danke.

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Ich bin tief beeindruckt, wie schnell und freundlich einem hier Hilfe geboten wird, danke!

Besonders der direkte Bsp.-Rechnungsansatz, für eine schnelle praktische Lösung, in der Kombination mit welche thematische Richtung ich weiter versuchen sollte zu verstehen/studieren, wenn ich Zeit und Muße habe, finde ich genial.
Das eingehen auf meine Zusatzhinweise/-frage bzgl. Excel und Java verleit dem ganzen noch den letzten Schliff, auch wenn ich dies nun wohl nicht mehr benötige, hätte ich ja dennoch nachhaken können, einfach nur super!

Kurzfristige direkte Hilfe plus langfristige Hilfe zur Selbsthilfe, super

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Bitte. Gern geschehen! Wenn was nicht stimmen sollte, darfst du das gern noch mitteilen. Hab jetzt deine Zahlen aber nicht nachgerechnet.