Wann kann ich die Betragsstriche weglassen bei ln|x^2 + bx + a|?

Question

Folgender Term ist vorhanden

ln|x² + bx + a|

Wann kann ich ln(x² + bx +a) schreiben?

Wenn a >= 0 ist oder?

Und wie stehts bei

ln|x⁴ + bx² + ax + c| ?

Ist das auch immer positiv wenn c >= 0 ?

Answer 1

Du kannst die Betragsklammern um das Logarithmusargument dann weglassen, wenn das, was dazwischen steht, positiv ist.

Comments

Und damit zur meiner Frage:

Wann werden die oben genannten Funktionen immer positiv ?

Answer 2

Deine Vermutungen sind falsch.

y = x² + bx + a

hat als Graph eine nach oben geöffnete Parabel.

Hat sie keine Nullstellen, so sind die Funktionswerte immer grösser als 0.

Nullstelllen berechnet man z.B. mit der Mitternachtsformel

x² + bx + a = 0

x_1,2 = 1/2 ( -b ± √(b^2 - 4a))

Nullstellen gibt es, wenn b^2 ≥ 4a

Keine reellen Nullstellen gibt es, wenn b^2 < 4a.

Folgerung: Die Betragsstriche kann man weglassen, wenn b^2 < 4a.

Schau dir als Repetition die kostenlosen Einführungen zu Parabeln an: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen

Comments

Stimmt, ich hab das mit x^2 + a verwechselt, wenn a >= 0 ist, ist y immer >= 0,

weil die Parabel immer weiter auf der y-Achse aufsteigt bei steigendem a.

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Aha. Gut, wenn du nun weisst, was verkehrt war.

Answer 3

Die Betragsstriche können weggelassen werden wenn
x^2 + bx + a > 0  | Lösung mit quadratische Ergänzung
x^2 + bx + (b/2)^2 > (b/2)^2 - a
( x + b/2 )^2 > (b/2)^2 - a  | Wurzelziehen
1.
x + b/2 > √ ( ( b/2)^2 - a )
x >  √ ( ( b/2)^2 - a ) -  b / 2
2.
x + b/2 <  - √ ( ( b/2)^2 - a )
x <  - √ ( (b/2)^2 - a ) -  b / 2

Was bedeutet die Lösung

a.) Term in der Wurzel >= 0
(b/2)^2 - a >= 0
und
b.) falls für x zutrifft
x >  √ ( ( b/2)^2 - a ) -  b / 2
oder
x <  - √ ( (b/2)^2 - a ) -  b / 2

ist der Ausdruck im Logarithmus positiv und
die Betragsstriche können entfallen.

Sind a und b bekannt kann der Test auf a.) gemacht
werden. Falls der Nachweis stimmt können mit a und b
die Bereiche für x berechnet werden.