Vektorraum, 2-dimensional, 8 Elemente

Question

Hallo Community,

eine sinnlose Frage:

Gibt es einen 2-dimensionalen Vektorraum (über einem geeigneten Körper), der genau 8 Elemente hat?

Comments

Das sollte doch machbar sein.

[x, y]

Für x sollte es also z.B. 4 Möglichkeiten und für y nur noch 2 Möglichkeiten geben.

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Der_Mathecoach,

ich habe mal im Internet mal recherchiert und was Interessantes festgestellt:

"Sei K ein Körper mit q Elementen und V sei ein n-dimensionaler Vektorraum, wobei q,n ∈ ℕ. Dann gilt: V hat genau qⁿ Elemente."

Annahme: Ein 2-dimensionaler VR hat genau 8 Elemente, d.h.

$$ 8 = { q }^{ 2 } \Leftrightarrow q = \pm \sqrt { 8 } , $$ aber es gilt nicht, da q ∈ ℕ ist. Also stimmt die Aussage nicht.

Answer 1

Nein den gibt es nicht. Ist GF (q) der Grundkörper mit q Elementen https://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper so hat der 2-dimensionale VR q² Elemente, und die Wurzel aus 8 ist keine ganze Zahl.