Ableitung, Extremwerte und Wendepunkte von f(x) = x^2 * e^{-x}

Question

Kann mir jemand helfen die ersten drei Ableitungen, den Extrema und WP diese Funktion zu bestimmen ?

f(x) = x^2 * e ^-x

Ich habe die Ableitungen mit der Potenzregel bestimmt

f´(x) = -x^2 * e ^-x + 2xe^-x = (2x - x^2) e ^-x

f´´(x) = (2 - 4 x + x ^2) * e ^-x

f´´´(x) = (-6 + 6x -x^2) *e^-x stimmt das ? kann mir jemand mit Extrma und WP helfen ?

Comments

Deine Ableitungen nach der Produktregel kannst du damit kontrollieren: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+x%5E2+*+e+%5E%28-x%29

Nun musst du voraussichtlich noch

(2x - x²) = 0

und 

(2 - 4 x + x ²) = 0 

lösen.

e^{-x} ist ja nie Null.

Answer 1

Deine Ableitungen stimmen.
Extrempunkt
f ´( x ) = 0
(2x - x²) e ^-x  = 0
( 2 *x - x^2 ) = 0
x * ( 2 - x ) = 0
x = 0
2 - x = 0
x = 2
( 0 | 0 )
( 2 | 4 / e^2 )
Wendepunkt
f ´´( x ) = 0
(-6 + 6x -x²) = 0
( lösbar mit pq-Formel oder quadratischer Ergängung
x = ±√ 2 + 2
( √ 2 + 2 | 0.384 )
( - √ 2 + 2 | 0.191 )
Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

WP: Du wolltest bestimmt (2 - 4 x + x ²) = 0  lösen.

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Da habe ich die falsche Formel von oben kopiert.

(2 - 4 x + x ²) = 0 muß es heißen.

Das Ergebnis ist jedoch korrekt.

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ist die wurzel nur über 2 oder auch über +2 ? y wert bekommt man wenn man in die stammfunktion den x wert einfügt nicht ?