lineare funktion zylinderförmige regentonne

Question

eine zylinderförmige regentonne ist 1,20 m hoch. sie wird bei gleichmäßigem zulauf mit wasser gefüllt.

nach 4 minuten beträgt die füllhöhe 48 cm und nach 9 minuten beträgt die fullhöhe 93 cm.

a) bestimmen sie eine lineare funktionsgleichung die die fuüllhöhe nach t minuten angibt.

b) berechnen sie wie hoch das wasser zu beginn des füllvorgangs in der tonne stand

c) berechnen sie nach wie viel minuten die tonne voll ist.

Answer 1

zu a)

Allgemeine Form der linearen Gleichung für eine Variable t: f(t) = a*t +b

Wir kennen zwei Wertepaare:

für t1 = 4 min f(4 min) = 48 cm und für t2 = 9 min f(9 min) = 93 cm. Diese setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten (Einheiten seien vernachlässigbar)

48 = a*4 + b (1)

93 = a*9 + b (2)

Das ist ein lineares Gleichungssystem, das man lösen kann beispielsweise mit dem Einsetzverfahren

aus (1) b = 48 - 4a das in (2) einsetzen ergibt 93 = 9a + 48 -4a = 5a +48 -> a = 9

Aus b = 48 - 3a mit a = 9 folgt b = 21

-> f(t) = 9*t + 21

zu b) Gefragt ist hier f(t = 0 min) = 9*0 + 21 = 21 (cm)

zu c) Die Tonne ist voll, wenn die Füllhöhe 1,20 m = 120 cm beträgt -> 120 = 9*t + 21 -> t = 11 min

Answer 2

Hi,

die lineare Funktion sieht allg. so aus

\( h(t)=a+b \cdot t \) und Du hast für zwei Zeiten die Füllhöhe. Also

\( (1) \quad h(4)=a+4t=0.48 \) und
\( (2) \quad h(9)=a+9t=0.93 \)

Damit hast Du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten. Lösung

\( a=0.12 \) und \( b=0.09 \)