Wie berechnet man den Wert von sin pi/4 ohne Taschenrechner?

Question

Berechne den Wert des angegebenen Terms ohne Taschenrechner.

sin pi/4 b) sin (-pi/2)

Answer 1

bekanntlich gilt \(\sin(2x)=2\cdot\sin x\cdot\cos x\) für alle \(x\in\mathbb R.\)
Insbesondere gilt für \(x=\frac{\pi}4:\)$$1=\sin\frac{\pi}2=\sin\left(2\cdot\frac{\pi}4\right)=2\cdot\sin\frac{\pi}4\cdot\cos\frac{\pi}4$$$$\quad=2\cdot\sin\frac{\pi}4\cdot\sin\left(\frac{\pi}2-\frac{\pi}4\right)=2\cdot\sin\frac{\pi}4\cdot\sin\frac{\pi}4=2\cdot\sin^2\frac{\pi}4$$Da \(\sin\frac{\pi}4\) sicher positiv ist, folgt$$\sin\frac{\pi}4=\frac12\sqrt2.$$

Answer 2

Für Aufgabe b) kannst du dir den Einheitskreis vorstellen

pi/2 sind 90 Grad und da der Winkel negativ ist, musst du MIT dem Uhrzeigersinn gehen. Du startest bei +1 und dann folgst du der Kreislinie nach unten, bis du auf ein "Hinderniss" stösst.

Das erste Hinderniss ist -1

Das ist der Wert.