Gegeben ist die ertragsgesetzliche Kostenfunktion K mit K(x)=0,6x³-18x²+650x+10000

Question

Zeige  durch Nachrechnen, dass K keine lokalen  Extremwert besitzt.

Comments

Schau zur Kontrolle vielleicht mal hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.6x³-18x²%2B650x%2B10000

Da werden Ableitungen (derivative) .... gleich ausgerechnet. Klicke darauf und die beiden Nullstellen von K ' (x) sind komplex. Also keine reelle Extremalstellen von K(x).

Answer 1

Du musst die erste Ableitung von K(x) bilden und die Nullstellen davon bestimmen. Dann siehst Du, das keine reellen Nullstellen existieren. Also gibt es keine lokalen Extremwerte.

Comments

berechne die Kostenkehre .. es kommt x=10

und stelle den graphen der kostenfunktion in einem geeigneten Intervall graphisch dar und kennzeichne die Abschnitte, in denen die Kosten degressiv bzw. progressiv wachsen ..

bitte ich kann den graph nicht machen :((

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Von Kostenkehre stand nichts in der Frage. Was meinst du damit?

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Das ist die Wendestelle der Kostenfunktion.

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Ok. Danke. Die Wendestelle ist x=10. Sieht man, wenn man auf die Ableitung im angegebenen Link klickt.

Answer 2

Es geht auch so:

Zunächst wird von der Kostenfunktion
K(x) = 0.6*x³ - 18*x² + 650*x + 10000

die erste Ableitung, gebildet:
K '(x) = 1.8*x² - 36*x + 650

Diese ist eine quadratische Funktion und ihr Graph eine nach oben offene Parabel. Ihr Funktionsterm kann schrittweise über eine quadratische Ergänzung in Scheitelform überführt werden:

K '(x) = 1.8*(x² - 20*x) + 650

K '(x) = 1.8*(x² - 20*x + 10² -100) + 650

K '(x) = 1.8*(x - 10)² -180 + 650

K '(x) = 1.8*(x - 10)² + 470.

Jetzt ist offenbar K '(x) > 0 für alle x, so dass K(x) streng monoton steigend sein muss und daher keine Extremstellen im Inneren des Definitionsbereichs haben kann. Weiter markiert die Scheitelstelle x=10 die gesuchte Kostenkehre von 10 Produktionseinheiten.

Ich finde diesen Weg eigentlich schöner als den schematischen Weg über eine Kurvendiskussion. Er geht davon aus, dass die Kosten durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades modelliert sind, und führt dann über die notwendigerweise quadratische Ableitung und deren Scheitel zum Ziel.