pq-Formel mit x^3: (8) / (x^2-4x+4) + (2) / (x - 2) = 1

Question

Ich habe auch hier wieder eine Gleichung die lautet:

(8) / (x^2-4x+4) + (2) / (x - 2) = 1

Ich habe jetzt folgendes gemacht:
1.) Nenner gleichnamig machen ( 1/x + 1/y = y/xy + x/xy )

Also:

(8*(x-2)) /  (x^2 - 4x + 4) * (x - 2) + (2*(x^2 - 4x + 4) / ( (x^2 - 4x + 4) * (x - 2) = 1  | * Nenner ( (x^2 - 4x + 4) * (x - 2)

<=>  0 = x^3 - 8x^2 - 12x

Habe ich mich bis dahin verrechnet? Falls nein, wie muss ich nun weiter vorgehen?

Answer 1

Du hast nicht erkannt, dass im Nenner die binomische Formel zu entdecken ist !

$$ \frac8{ (x^2-4x+4)} + \frac2{ (x - 2)} = 1$$
$$ \frac8{ (x-2)^2} + \frac2{ (x - 2)} = \frac{ (x-2)^2}{ (x-2)^2}$$

$$ \frac8{ (x-2)^2} + \frac{ 2(x - 2)}{ (x - 2)^2} = \frac{ (x-2)^2}{ (x-2)^2}$$

$$ 8 + { 2(x - 2)} = { (x-2)^2}$$
$$ 8 = { (x-2)^2}- { 2(x - 2)} $$
$$ 8 +1= { (x-2)^2}- { 2(x - 2)}+1 $$
$$ 9=   \left((x - 2)-1\right)^2 $$
$$ 9=   \left(x -3 \right)^2 $$
$$\pm 3=   x -3  $$

$$x_1=6  $$
$$x_2=0  $$

und alles ohne pq-Formel !!!

Comments

Probe:
$$ \frac8{ 0^2-4\cdot 0+4} + \frac2{ (0 - 2)} = 1$$
---

$$ \frac8{ 6^2-4\cdot6 +4} + \frac2{ (6 - 2)} = 1$$
$$ \frac8{ 36-24 +4} + \frac2{ 4} = 1$$
$$ \frac8{16} + \frac2{ 4} = 1$$

Answer 2

Wenn du dich nicht verrechnet hast, kannst du nun erst mal x ausklammern.

0 = x³ - 8x² - 12x 

0 = x(x^2 - 8x -12)

Nun ist x1 = 0 und x2 sowie x3 kannst du mit der pq-Formel bestimmen.

Kontrolliere zum Schluss in der gegebenen Gleichung. Division durch 0 ist nicht erlaubt. Möglicherweise musst du eine Lösung noch streichen.

Comments

Natürlich hättest du es einfacher, wenn du wie in der andern Antwort vorgeschlagen, (x² - 4x + 4) =(x-2)^2 erkannt hättest.

Ich vermute, deine Rechnung hat aber auch noch einen Fehler drinn. Die 1 musst du auch auf den Hauptnenner bringen. Da kann nicht plötzlich eine 0 draus werden.