Parameter bestimmen. Für welches a hat f (x)=x^4+2ax^2 genau einen Extremwert?

Question

Berechnen Sie a so dass die Funktion f (x)=x^4+2ax^2 genau einen Extremwert besitzt.

Answer 1

f (x)=x⁴+2ax²
1.Ableitung
f `( x ) = 4 * x^3 + 4 * a * x^2
Extremwert
4 * x^3 + 4 * a * x^2 = 0
x^2 * ( 4 * x + 4* a ) = 0  => x = 0
Falls jetzt auch noch
4 * x + 4* a = 0
4 * ( x + a ) = 0
x + a = 0
Nur 1 Extremwert  x = 0 ( siehe oben )
0 + a = 0
a = 0

Comments

Vielen Dank Mega Geiler Service *-*

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Ein verstehe ich nicht ich habe bei der Ableitung

Ich habe nämlich

f (x)=x^4+2ax^2

f'(xl= 4x^3+4ax  und nicht wie in der Lösung f (x)=4x^3+4ax^2   wieso bleibt den die ^2 ??

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Stimmt Fehler.
1.Ableitung
f `( x ) = 4 * x³ + 4 * a * x
Extremwert
4 * x³ + 4 * a * x = 0
x * ( 4 * x^2 + 4* a ) = 0  => x = 0
Falls jetzt auch noch
4 * x^2 + 4* a = 0
4 * ( x^2 + a ) = 0
x^2 + a = 0
Nur 1 Extremwert  x = 0 ( siehe oben )
0^2 + a = 0
a = 0

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Super den gleichen Weg hatte ich auch danke für die Bestätigung.

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@ georgborn:

Was ist mit den a grösser Null bei Deiner Lösungsvariante ? Finden die keine Beachtung ?

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@pleindespoir
Die Frage hieß :
" Berechnen Sie a so dass die Funktion f (x)=x⁴+2ax² genau
einen EXTREMWERT besitzt.  "
Du hast in deiner Lösung zuerst NULLSTELLEN berechnet ?
WARUM ?
Die Antwort auf die Frage ist a = 0. Diese habe ich gegeben.

Falls es noch andere Lösungen gibt dann lass es mich
wissen. Bitte nur die kürzmöglichste und einfachste Bedründung.

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Bei a=0 hat die Ableitung 3 reelle Nullstellen bei x=0

Bei $$ a \gt  0 $$ hat die Ableitung eine reelle Nullstelle bei x=0 UND zwei imaginäre Nullstellen bei $$ i \pm  \sqrt a$$

Also hat die Funktion auch bei positiven a nur ein reelles Extremum und nicht nur ausschliesslich bei x=0

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Puhhhh und was ist nun richtig ?

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Kann man den nicht statt x einfach 4x ausklammern dann stehen doch direkt 4x(x-a^2)=0

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Das kann man auch machen, ändert aber nix, weil der Faktor 4 ja doch rausfliegt. siehe meine Lösung Teil II:

Teil I kann ignoriert werden. Ich hab was in der Plottereingabe verklammert und deswegen kam ich auf eine Idee, die nicht funktioniert.

Ich bin selbstverständlich der Meinung dass ICH recht habe, aber ich warte mal, was georgborn noch an Überlegungen mit einbringt.

Unmathematischerweise kannst du ja mal irgendeinen positiven Wert (ungleich NULL) für a einsetzen und einfach mal nachrechnen bzw. ausprobieren, wieviele Extrema Du findest.

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Soviel schon einmal vorab. Ich denke auch das pleindespoir
und lu schon richtig nachgewiesen haben. a >= 0
Ich frage mich nur wo mein Fehler lag da ich meine Überlegungen
auch noch gut rekonstruieren kann.

Ich gehe aus von
f `( x ) = 4 * x³ + 4 * a * x
4 * x³ + 4 * a * x  = 0
die 4 kann ausgeklammert werden und entfallen
x³ + a * x  = 0
x * ( x^2 + a ) = 0  => x = 0
Ein Extremwert ist auf jeden Fall bei x = 0.

Es soll das a ermittelt für das es nur 1 Extremwert gibt.
Es bleiben noch als weitere Möglichkeit für Extremwerte übrig.
x^2 + a = 0
Der Extremwert x = 0 ( als einziger ) muß auch für diese Gleichung gelten.
Falls x zu  ungleich 0 ermittelt würde wären mehrere Extremwerte
vorhanden. Also
0^2 + a = 0
a = 0
Soweit meine Überlegung als ich die Lösung a = 0 präsentierte.
Soweit relativ logisch. Wo steckt der Fehler ?

Die Überlegung von pleinsdespoir bzw. Lu wären
x^2 + a = 0
x = ± √ ( -a )
Möglichkeiten
a = 0 : x = 0 , nur 1 Extrempunkt
a < 0 : Wurzelziehen möglich, 2 Extrempunkte mehr,
  also keine Lösung für 1 Extrempunkt
a > 0 : irgendetwas Imaginäres. Da kenne ich mich
nicht so aus. Lus Antwort erscheint mir noch am
einleuchtensten : Da es keine Lösung für weitere x
bei a > 0 gibt  hat der Bereich a > 0  auch nur die
bekannte Lösung x = 0.

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Wo steckt der Fehler ?

In dieser Zeile :  Der Extremwert x = 0 ( als einziger ) muß auch für diese  [ x² + a = 0 ]  Gleichung gelten

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@hj217

Dein Kommentar hat für mich den Informationswert null. Es fehlt die
Begründung.

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georgborn: hj217 sieht den Fehler schon an der richtigen Stelle. Der Extremwert x = 0 ( als einziger ) muß auch für diese  [ x² + a = 0 ]  Gleichung gelten

Das nützt dir aber offenbar nichts, da du die Nullproduktregel überinterpretierst.

Der Sinn der Faktorisierung (u-3)(u-4)=0  ist, dass man alle Nullstellen findet. 

Man liest ab u1=3 u2=4.

Wenn man nun 3 einsetzt, muss u-4 nicht auch noch 0 sein, damit das Produkt 0 ist.

Daher in deinem Beispiel.

x^2(x^2+a)=0. Aus x1=0 folgt nicht automatisch, dass (x^2 + a=0). In (x^2 + a) findet man allfällige weitere Nullstellen.

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Ich denke, ich bin schon richtig vorgegangen auch im 2.Faktor
nachzusehen wann dieser null wird und somit weitere Nullstellen
zu bestimmen. Siehe die 3 Möglichkeiten die ich angeführt habe.

Die letzte : ( a > 0 ) habe ich verworfen weil ( x^2 + a ) dann stets
größer null ist.

Richtig wäre es gewesen bei ( a > 0 ) zu erkennen das es keine
Lösung gibt und somit bei ( a > 0 )  auch nur 1 Nullstelle existiert.

mfg Georg

Answer 2

I: nicht ganz direkt
$$  f (x)=x^4+2ax^2 $$
$$ z=x^2$$
$$  f (x)=z^2+2az $$
$$  f (x)=0 $$
$$  0=z^2+2az $$
$$  0=z(z+2a) $$
$$  0=z$$
$$  x_{1,2}=0 $$
doppelte reelle Nullstelle
$$  0=z+2a $$
$$  z=-2a $$
$$  x_{3,4}=\sqrt{-2a} $$
diese Nullstellen sind imaginär

EDIT: bei positiven a - negative a erzeugen zwei weitere reelle Nullstellen
=> Die Funktion hat nur eine Nullstelle am Scheitelpunkt unabhängig von dem Wert "a".

EDIT: obiger Satz ist falsch!
II: mittels Ableitung
$$  f' (x)=4x^3+4ax $$
$$  f' (x)=0 $$
$$ 0=4x^3+4ax $$
$$  0=x(4x^2+4a) $$
$$ x_E=0$$
$$  0=4x^2+4a $$
$$  0=x^2+a $$
$$  x^2=-a $$
$$  x_e=\pm\sqrt{-a} $$
Ein weiteres Extremum könnte bei negativen Werten für a vorliegen - bei positiven ist die Diskriminante der Wurzel negativ und es gibt keinen reellen Wert.

EDIT: bei negativen a entstehen zwei weitere Extrema !
Interessante Frage zur Diskussion: Weshalb existiert auch bei negativen "a" keine weitere Extremstelle ?

Comments

Interessante Frage zur Diskussion: Weshalb existiert auch
bei negativen "a" keine weitere Extremstelle ?
Weshalb doch
x = ±√ (-a )
Dies müßten weitere Extremstellen sein, aber
in der Fragestellung hieß es ja das a zu suchen
bei dem nur 1 Extremstelle  existiert.

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Fehler gemacht: bei negativen a entstehen 2 weitere reelle Extrema!

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Es gibt immerhin unendlich viele Werte, bei denen die Funktion nur eine (doppelte) Nullstelle besitzt: alle $$a\ge0$$

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Und die wären also wie wäre nun die korrigierte Lösung ?

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Ich habe in der Antwort editiert und auch so kenntlich gemacht sowie weiter kommentiert.

Tschuldige den Fehler - ich habe mich vorher vertippt und daher war mein Plot nicht das was die Algebra herausgibt - daher die "Interessante Frage zur Diskussion", die sich ja nun erübrigt hat.

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Selbst einem Profi kann das doxh mal passieren alles gut ich muss mich wie immer herzlichen bedanken und bist du vielleicht so nett und schaust dir mal die freie Fall aufgabe von  mir an ich schreib morgen eine Klausur.Das wär super.

Answer 3

f (x)=x⁴+2ax²

^{=x^2 (x^2 + 2a)}

^{x=0 ist doppelte Nullstelle, falls a≠0. Daher ist x=0  eine Extremalstelle. Nun muss man unten noch dafür sorgen, dass keine weitere Extremalstelle existiert.}

^{Falls a=0  ist x eine vierfache Nullstelle und ebenfalls automatisch eine Extremalstelle von f(x). Sogar sicher die einzige. a=0 ist sicher ein Element von L.}

^{Fall a≠0, Fortsetzung}

^{f ' (x) = 4x^3 + 4ax = 4x(x^2 + a) = 0}

^x₁ ^{= 0} 

x^2 = -a

x_2,3 = ±√(-a) 

Falls a>0 existieren x_2,3 nicht.

Also: L = {a| a≥0}

Graphisch kann man das bestätigen: Via https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4+%2B+4x%5E2%2C+x%5E4+%2B+6x%5E2%2C+x%5E4+%2B+2%2F10*x%5E2