Differenzialquotient: Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x0

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Hallo!

Ich versuche Gerade in Mathe die lokale und mittlere Änderungsrate zu verstehen! die mittlere kann ich jetzt (denke ich)...

die Aufgabe:
geg f(x)=1/x , ges: f'(1)

 

Meine Ideen:
f'(1)=  lim h->0 f(x0-h)-f(x0)/ h

      = lim h->0 f(1-h)-f(1)/h

      = lim h->0 1/(1-h)???? - 1/(1) /h

ist das so richtig? ich weiß nicht genau wie ich dieses 1/x einsetzen soll in die formel....

 

& noch eine aufgabe...

f(x) = 4x-x²        ges: f'(2)

Wie soll ich das nur machen? ich weiß nicht wie die Gleichung dann heißen soll.. (einsetzen...)

(in die ausgangsgleichung f(x0-h)-f(x0)/h eingesetzt...)

 

Danke im voraus!!!

Gefragt 26 Aug 2012 von jacky95

1 Antwort

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Beste Antwort

Du sollst das wirklich explizit mit dem Differenzialquotienten ausrechnen?
Okay, erstmal ein kleiner Hinweis: Benutz doch bitte das Formel-Tool, was du ganz links über dem Beitragsfenster findest, damit wird alles lesbarer.

Ich verstehe echt überhaupt nicht, was du uns da sagen willst, deswegen fang ich die Aufgabe einfach mal ganz von vorne an :)

Gesucht ist die Ableitung der Funktion f(x) = 1/x im Punkt 1.

 

Für die zweite Aufgabe geb ich dir mal nur den ersten Ansatz, ausrechnen kannst du das dann alleine:

Gesucht: f'(2) für f(x) = 4x-x²:

Der Rest ist nur noch Ausrechnen :)

Beantwortet 26 Aug 2012 von Julian Mi Experte X
Oh, ich sehe gerade, dass du in deiner Formel von links gegen den gewünschten Punkt gehst, also da ein x-h statt einem x+h (so wie ich) zu stehen hast.

Ich hoffe das verwirrt dich nicht, es ist aber so, dass man natürlich aus beiden Richtungen gegen den Punkt gehen kann (das h geht ja gegen 0 und man nähert sich sowohl bei x+h als auch bei x-h immer mehr dem x selbst an).

Man kann beide Wege ausrechnen, meistens kommt auch das gleiche raus - kommt einmal etwas anderes heraus, so nennt man die Funktion an dieser Stelle "nicht differenzierbar"

ok vielen dank für deine Antwort :)

Es hat mir weitergeholfen, es besser zu verstehen (:

Naja das mit den x-h war ein fehler meinerseits... normalerweise rechne ich auch mit x+h!

 

Muss mich jetzt nurnoch ein wenig durch Sachaufgaben kämpfen, mal sehen (:

mhh....

ich komme einfach nicht drauf...

bei der oberen ist es kompliziert mit den Brüchen...

 

und die untere bekomme ich irgendwie nicht ausgerechnet!

es muss ja 0 rauskommen... aber ich komme nur auf -28...

Die obere hab ich doch komplett vorgerrechnet... falls du da mit irgendeinem Schritt ein Problem hast, sag Bescheid, ich erkläre das gerne noch ausführlicher.

 

Bei der zweiten steht ja quasi auch schon fast alles da.

Soweit waren wir:

Beim zweiten Term fallen halt einfach 8-8, -4+4 und 4h-4h weg, sodass nur noch das h2 übrig bleibt.

Das Problem ist ich komme beim zweiten nicht auf die -8+4... den Rest hatte ich auch beim rechnen raus.
Die 4 habe ich, aber die 8 nicht
Kannst du mir das bitte noch erklären?! :/

Hm, da sind ja einfach die Werte in die Funktion eingesetzt, aber ich schreibs gerne nochmal ausführlich hin:

f(x) = 4x-x²

 

Für die Ableitung musst du den Grenzwert des Diferrenzenquotienten ausrechnen, den hab ich in meinem Beitrag oben schon hingeschrieben.

Was du dafür brauchst sind: f(2) und f(2+h)

f(2): für alle x'e setzt man eine 2 ein, das ergibt:

f(2) = 4*2-2² = 8-4 = 4

f(2+h): für alle x'e setzt man 2+h ein, das ergibt:

f(2+h) = 4*(2+h) - (2+h)² = 8+4*h - (4+4h+h²) = 4 + h²

Dabei ist einmal das Distributivgesetz und einmal die 1. binomische Formel angewandt worden.

 

Rechnet man jetzt den Zähler des Differenzenquotienten aus, so erhält man:

f(2+h) - f(2) = 4+h² - 4 = h²

Den teilt man dann noch durch h und führt den Grenzwert h gegen 0 aus, dann bleibt

lim[h->0] h = 0

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