Ich mache das mal exemplarisch für eine Aufgabe:
Definitionsbereich
Zuallererst siehst du dir bei jeder Funktion an, ob sie an irgendeiner Stelle nicht definiert ist.
Bei gebrochen rationalen Funktionen (Brüche) ist das immer der Fall, wenn der Nenner null wird.
Der Nenner wird null wenn du für x = 3 einsetzt. Also ist die Funktion an der Stelle x = 3 nicht definiert.
x ∈ ℝ \ {3}
bedeutet: "x ist Element der reellen Zahlen ohne Null"
Polstellen
Wenn man so eine nicht definierte Stelle hat, will man wissen, wie sich die Kurve in der Nähe dieser Stelle verhält. Es gibt 2 Möglichkeiten. Entweder die Kurve hat dort einfach ein "Loch" oder sie geht an der Stelle nach +∞ bzw. -∞
Wenn du durch Kürzen des Bruchs eine Funktion erhältst, an der der Nenner bei x = 3 nicht null wird, dann hast du an der Stelle x = 3 eine hebbare Definitionslücke und damit bei x = 3 einfach ein "Loch" in der Funktion.
Hier kannst du nichts kürzen, also schaust du dir das Verhalten in der Nähe dieser Polstelle an.
Polstelle ist bei x = 3, also schaust du dir die linke Seite (3 - h) und die rechte Seite (3 + h) an und lässt dann h gegen Null laufen und schaust dir den Grenzwert an der Stelle an.
x = 3 - h
$$\lim _{ h\xrightarrow { } 0 }{ f(3-h) } =\lim _{ h\xrightarrow { } 0 } \frac { 6(3-h)-9 }{ { ((3-h)-3) }^{ 2 } } =\lim _{ h\xrightarrow { } 0 }{ \frac { 18-6h-9 }{ { (3-3-h) }^{ 2 } } } =\lim _{ h\xrightarrow { } 0 }{ \frac { 9-6h }{ { h }^{ 2 } } } =+\infty $$
x = 3 + h
$$\lim _{ h\xrightarrow { } 0 }{ f(3+h) } =\lim _{ h\xrightarrow { } 0 } \frac { 6(3+h)-9 }{ { ((3+h)-3) }^{ 2 } } =\lim _{ h\xrightarrow { } 0 }{ \frac { 18+6h-9 }{ { (3-3+h) }^{ 2 } } } =\lim _{ h\xrightarrow { } 0 }{ \frac { 9+6h }{ { h }^{ 2 } } } =+\infty $$
Ein Bruch, wo eine Zahl durch eine ganz kleine Zahl geteilt wird, wird sehr groß. Wenn du diese kleine Zahl gegen Null laufen lässt, dann wird der gesamte Bruch im Grenzwert bei 0 unendlich groß. Ich weiß nicht wie ihr das schreiben sollt, einfach mal in deinem Heft nachsehen. Schreib den letzten Schritt so, wie ihr das gemcht habt.
Damit weißt du, dass die Funktion sowohl links von x = 3 als auch rechts von x = 3 gegen +∞ läuft.
Verhalten gegen unendlich
Wenn du das Verhalten von Brüchen für x→±∞ untersuchen willst, dann schaust du wo der größte Exponent von x im Nenner ist und teilst den gesamten Zähler und den gesamten Nenner durch diese Potenz. Dann bildest du wieder den Grenzwert und siehst dir an, wo die Funktion dann hinn läuft
$$\lim _{ h\xrightarrow { } \pm \infty }{ f(x) } =\lim _{ h\xrightarrow { } \pm \infty }{ \frac { 6x-9 }{ { (x-3) }^{ 2 } } } \lim _{ h\xrightarrow { } \pm \infty }{ \frac { 6x-9 }{ x²-6x+9 } } =\lim _{ h\xrightarrow { } \pm \infty }{ \frac { \frac { 6x }{ x² } -\frac { 9 }{ x² } }{ \frac { x² }{ x² } -\frac { 6x }{ x² } +\frac { 9 }{ x² } } } =\lim _{ h\xrightarrow { } \pm \infty }{ \frac { \frac { 6 }{ x } -\frac { 9 }{ x² } }{ 1-\frac { 6 }{ x } +\frac { 9 }{ x² } } } =\frac { 0-0 }{ 1-0+0 } =\frac { 0 }{ 1 } =0$$
Symmetrie
Funktionen können entweder achsensymmetrisch zur y-Achse sein (Funktion ist an der y-Achse gespiegelt) oder punktsymmetrisch zum Ursprung (Wenn du die Funktion x>0 um den Ursprung drehst, ist sie deckungsgleich mit der Funktion x<0)
Achsensymmetrie: f(x) = f(-x)
Punktsymmetrie: f(x) = -f(-x)
Das kannst du einfach ausrechnen, in dem du stumpf einsetzt und vereinfachst. Entweder alle Teile fallen weg und du erhältst zum Schluss einen Ausdruck 0=0 oder es bleibt etwas übrig, das falsch ist. Bei 0 = 0 ist die symmetrie vorhanden, sonst nicht
Nullstellen
Nullstellen sind meist einfach zu bestimmen. Bei Brüchen ist die Funktion null, wenn der Zähler null ist.
Also Zähler null setzen und nach x umstellen.
6x - 9 = 0 ⇔x = 3/2
Ordiatenschnittpunkt (Schnittpunkt mit y-Achse)
Gesucht ist der Wert den die Funktion bei x = o hat. Einsetzen und ausrechnen
Ableitungen
Bei Brüchen Quotientenregel:
$$f(x)=\frac { u }{ v } $$
$$f'(x)=\frac { u'\cdot v-u-v' }{ v² } $$
Damit bekommst du deine Ableitungen, die du brauchst.
$$f'(x)=\frac { -6x }{ { (x-3) }^{ 3 } } $$
$$f''(x)=\frac { 12x+18 }{ { (x-3) }^{ 4 } } $$
$$f''(x)=\frac { -36x-108 }{ { (x-3) }^{ 5 } } $$
Extrema:
$$f'(x)=0\quad ∧\quad f''(x)≠0$$
Bruch ist null, wenn Zähler null ist.
$$f'(x)=\frac { -6x }{ { (x-3) }^{ 3 } } =0$$
-6x = 0 --> x = 0
$$f''(x)=\frac { 12x+18 }{ { (x-3) }^{ 4 } } \neq 0$$
$$\frac { 12\cdot 0+18 }{ { (0-3) }^{ 4 } } =\frac { 18 }{ { (-3) }^{ 4 } } =\frac { 18 }{ { 3 }^{ 4 } } >0$$
f ''(x) > 0 -> TP
f(0) = -1
Tiefpunkt bei TP(0 / -1)
Wäre f ''(x) negativ, dann wäre das Extremum dort ein Hochpunkt
Wendepunkte:
$$f''(x)=0\quad ∧\quad f'''(x)≠0$$
12x + 18 = 0 -->x = -3/2
x = -3/2 jetzt noch in dritte Ableitung einsetzen und prüfen ob die Gleichung bei x = -3/2 ungleich null ist. Wenn ja, dann hat die Funktion an dr Stelle einen Wendepunkt
