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Guten Tag liebe Community!

Habe in Mathe total den Faden verloen,und komme nun nichtmals mehr mit den eifachsten Aufgabenstellungen zurecht( z.B Nullstellen berechnen).

Jetzt habe ich eine Vorbereitungsaufgabe aufbekommen, die wie folgt lautet:

Gegeben ist die Funktion f(x)= 1- 6/x + 5/x^2  = (x^2-6x+5) / x^2

Davon soll ich jetzt die Nullstellen berechnen und das Verhalten für x --> 0 untersuchen,

sowie Extrema,Wendepunkte und Aymptote bestimmen..

Wie gehe ich jz am besten vor?

Wenn ich die FKT Null setze komme ich auf kein Ergebnis. :(

Bitte Hilfe, schreibe die Woche schon die Arbeit und hab von nix einen Plan

LG
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Sind das 2 Funktionen? 

f(x)= 1- 6/x + 5/x2  X2-6+5/ X2

Nein das soll eine Funktion darstellen,eben genau das verwirrt mich so :((

ich kann mir das höchstens so vorstellen:

f(x)= 1- 6/x + 5/x2  = (x^2 -6x+5) / x2

Da wäre nun rechts alles auf einem Bruchstrich.

Ja so ist das gemeint :/

1 Antwort

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f(x)= 1- 6/x + 5/x2  = (x2 -6x+5) / x2

Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist (und der Nenner nicht 0 ist)

Nullstellen:

0= x^2 -6x + 5   |pq-Formel oder einfacher direkt faktorisieren 

= (x-1)(x-5)

x1= 1, x2=5

Davon soll ich jetzt die Nullstellen berechnen und das Verhalten für x --> 0 untersuchen,

Das die Polstelle doppelt ist, gibt es an der Polstelle keinen Vorzeichenwechsel. Es gilt

lim (x->0) f(x) = + ∞

sowie Extrema,Wendepunkte und Aymptote bestimmen..

f(x)= 1- 6/x + 5/x2  = (x2 -6x+5) / x2

f(x) = 1 -6x^{-1} + 5x^{-2}

f ' (x) = 0 + 6x^{-2} - 10 x^{-3} = (6x - 10) / x^3

f ''(x) = -12x^{-3} + 30x^{-4} = (-12x + 30)/x^4

 

Extrema

f ' (x) = 0 + 6x^{-2} - 10 x^{-3} = (6x - 10) / x^3

f '(x) = 0

6x-10 = 0

6x = 10

x = 10/6 = 5/3

f(5/3) = -0.8

T (1.66667 , -0.8) liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der x-Achse: Daher rel. Minimum.

f ''(x) = -12x^{-3} + 30x^{-4} = (-12x + 30)/x^4

-12x + 30= 0

30= 12x

30/ 12 = x = 2.5

f(2.5) = -0.6

W(2.5, -0.6) ist der Wendepunkt.

Asymptote: Betrachte die ursprüngliche Form der Funktionsgleichung:

f(x)= 1- 6/x + 5/x2

für x gegen unendlich gehen sowohl 6/x als auch 5/x^2 gegen 0.

Die Gleichung der (horizontalen) Asymptote ist daher

g(x) = 1

Hier noch die Skizzen zur Kontrolle:

Etwas rangezoomt:

noch etwas näher gezoomt

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Danke für den Anfang, ich hab es jz mal nachgerechnet mit PQ formel,und meine Nullstellen wären dann

x=-1 und x=-5

Und wie gehe ich bei dem Rest der Funktion vor ?
Das Vorzeichen stimmt aber noch nicht. Du musst auch bei der pq-Formel
x1 = 1 und x2 = 5 rausbekommen. (Rest oben)
Okay danke soweit für deine Mühen, ich rechne mal alles nach, wenn ich fragen hab kommentier ich hier weiter drunter :)
Muss man beim Wendepunkt berechnen nicht eigentlich auch noch die 3. Ableitung dazu nehmen? Sorry wenn ich  mich irre,bin eh etwas durcheinander in Sachen Mathe
und du hast oft einfach die Exponenten weggelassen,darf man das ?
Kann man natürlich mit der 3. Ableitung noch nachprüfen. Hier ist aber anhand des Verlaufs der Kurve schon klar, dass links vom Wendepunkt eine Linkskurve vorliegt und rechts davon dann eine Rechtskurve sich der Asymptote annähert.

und du hast oft einfach die Exponenten weggelassen,darf man das ?

Ich habe nur den Zähler betrachtet. Das darf man, wenn man Nullstellen sucht. Es ist hier wieder die gleiche Regel wie zuerst, wenn man alles auf einen Bruchstrich bringt.

Eine Übersicht über die Bruchrechengesetze findest du hier:

https://www.matheretter.de/wiki/bruch

ganz unten im Link. Gemischte Zahlen sind ja bei euch nicht mehr aktuell, aber Addition von Termen mit und ohne Bruchstriche.

Ah gut :)

Dann bedanke ich mich mal ganz herzlich !! Du hast mir echt weitergeholfen,ich versuche mir das gut einzuprägen  für die kommende Arbeit . LIeber Gruß
Bitte. Gern geschehen! Du weisst ja eigentlich schon, was zu tun ist, musst es wohl einfach noch üben. Viel Glück bei deiner Prüfung!
Ja , ich verliere bei Mathe gerne mal den Überblick. Vielen Dank
In der Arbeit würde ich aber die 3. Ableitung machen, außer wenn es ausdrücklich gesagt wurde, dass es nicht notwendig ist.  Die meisten Lehrer wollen das sehen.
Es gibt doch noch was was ich nicht verstehe, bekommt bei der pq Formel jedes mal -1 und -5 raus. Aber 1 und 5 sind ja dein ergebnis ist richtig, wie komm ich darauf?
Ausser dem muss ich nun den berührpunkt der Gleichung herausfinden, aber dafür brauch man doch 2 Gleichungen?! Oder gibt es auch einen anderen weg
Du machst mit der pq-Formel einen Fehler. Setze nochmals p= -6 und q = 5 ein und schreib mal hin, was du genau rechnest.

Wenn da nichts Genaues gegeben ist, könnte es sein, dass der Berührpunkt von Graph und horizontaler Tangente verlangt ist. Das ist dann aber einfach der bereits bestimmte Tiefpunkt der Funktion.
Ah gut hab den Fehler gefunden gehabt, meine Lehrerin hat mal drüber geschaut :) danke

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