Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktion f(x)= -x/(x^2+4)

Question

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:

Untersuchen Sie die Funktion f(x)=-x/(x^2+4) hinsichtlich 

1:dem Definitionsbereich / der Monotonie / lokaler Extrema,
2:der Krümmung / dem Grenzwert für x / der globalen Extrema.

Danke für eure Hilfe

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Vom Duplikat:

Titel: Kurvendiskussion f(x)= (-x)/(x^2+4)

Stichworte: monotonie,extrema

Untersuche die Funktion f(x)= (-x)/(x^2+4) hinsichtlich dem Definitionsbereich, der Monotonie, und lokaler Extrema.

Zusatz: der Krümmung, dem Grenzwert für x→±∞, und der globalen Extrema.

Komme hier nicht weiter, bitte um eure mithilfe :-).

Answer 1

Benutze 

http://funktion.onlinemathe.de

https://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion

um dir eine kurze Kurvendiskussion anzeigen zu lassen. 

Rechne nach. Melde dich erst wenn du Schwierigkeiten hast.

Answer 2

Definitionsbereich Ist ℝ, Weil der Nenner nicht 0 werden kann und keine Wurzeln vorkommen.

Für Monotonie braucht man lokale Extrema. Lokale Extrema befinden sich an der Nullstellen der ersten Ableitung f'(x)=(x²-4)/(x²+4)². Für x_E=-2 ist die zweite Ableitung negativ, daher liegt dort ein Maximum (lokal und global). Links vom Maximum ist die Kurve monoton steigend. Für x_E=2 ist die zweite Ableitung positiv, daher liegt dort ein Minimum (lokal und global). Rechts vom Minimum ist die Kurve wieder monoton steigend. Vom Maximum bis zum Minimum ist die Kurver monoton fallend.

Für die Krümmung braucht man die Wendepunkt. Die liegen an den Nullstellen der zweiten Ableitung. f ''(x)=(2x(12-x²))/(x²+4)². x_W1=-√12; x_W2=0; x_W3=√12.Links von x_W1 ist die Kurve linksgekrümmt. Sie wechselt an jedem Wendepunkt ihre Krümmung.

Grenzwert für x→±∞=0, weil der Nenner einen höheren Grad hat, als der Zähler.

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Definitionsbereich Ist ℝ, Weil der Nenner nicht 0 werden kann und keine Wurzeln vorkommen.

...und kein Logarithmus,... und keine Ü-Ei-Funktion.

Answer 3

Definitionsbereich Ist ℝ, Weil der Nenner nicht 0 werden kann und keine Wurzeln vorkommen.

Für Monotonie braucht man lokale Extrema. Lokale Extrema befinden sich an der Nullstellen der ersten Ableitung f'(x)=(x2-4)/(x2+4)2. Für xE=-2 ist die zweite Ableitung negativ, daher liegt dort ein Maximum (lokal und global). Links vom Maximum ist die Kurve monoton steigend. Für xE=2 ist die zweite Ableitung positiv, daher liegt dort ein Minimum (lokal und global). Rechts vom Minimum ist die Kurve wieder monoton steigend. Vom Maximum bis zum Minimum ist die Kurver monoton fallend.

Für die Krümmung braucht man die Wendepunkt. Die liegen an den Nullstellen der zweiten Ableitung. f ''(x)=(2x(12-x2))/(x2+4)2. xW1=-√12; xW2=0; xW3=√12.Links von xW1 ist die Kurve linksgekrümmt. Sie wechselt an jedem Wendepunkt ihre Krümmung.

Grenzwert für x→±∞=0, weil der Nenner einen höheren Grad hat, als der Zähler.

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Definitionsbereich Ist ℝ, Weil der Nenner nicht 0 werden kann und keine Wurzeln vorkommen. 

In einer rationalen Funktion kommen ohnehin keine Wurzeln vor.

Für Monotonie braucht man lokale Extrema.

An den lokalen Extremstellen wechselt das Monotonieverhalten.

Für die Krümmung braucht man die Wendepunkte.

An den Wendestellen wechselt die Krümmungsrichtung.

Weiter sieht man, bevor man mit dem Rechnen anfängt, dass (1) die Funktion als ganzrationale Funktion ohne Nennernullstellen in ganz R beliebig oft differenzerbar ist, (2) symmetrisch zum Ursprung verläuft, (3) einen globalen \((+/-)\)-Vorzeichenwechsel aufweist und (4) asymptotisch zur x-Achse verläuft. Dies lässt bereits Rückschlüsse auf die weiter zu bestimmenden Umstände zu.