Aufgabe:
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an f(x) im Punkt P( u | f(u) ).
\( f(x)=\frac{1}{9} x^{3}-x \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{3} x^{2}-1 \)
Gleichung der Tangente im Punkt \( \mathrm{P}(\mathrm{u} | \mathrm{f}(\mathrm{u})) \)
\( t(x)=f^{\prime}(u)(x-u)+f(u) \)
\( f^{\prime}(u)=\frac{1}{3} u^{2}-1 \quad f(u)=\frac{1}{9} u^{3}-u \)
\( t(x)=\left(\frac{1}{3} u^{2}-1\right)(x-u)+\frac{1}{9} u^{3}-u=\left(\frac{1}{3} u^{2}-1\right) x-u\left(\frac{1}{3} u^{2}-1\right)+\frac{1}{9} u^{3}-u \)
\( =\left(\frac{1}{3} u^{2}-1\right) x-\frac{1}{3} u^{3}+u+\frac{1}{9} u^{3}-u=\left(\frac{1}{3} u^{2}-1\right) x-\frac{3}{9} u^{3}+\frac{1}{9} u^{3}=\left(\frac{1}{3} u^{2}-1\right) x-\frac{2}{9} u^{3} \)
Kann mir jemand den Lösungsweg, bzw. die einzelnen Schritte erklären? Durch die pure Lösung konnte ich mir leider nicht logisch erklären, wie ich das selbst rechnen kann.
