Bestimmen Sie die Ableitung f'(x) und die Gleichung der Tangente im Punkt P an den Graphen von f

Question

Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen:

Gegeben ist eine Funktion und ein Punkt P(x f(x)) auf dem Graphen von f. Bestimmen Sie die Ableitung f'(x) und die Gleichung der Tangente im Punkt P an den Graphen von f.

F(x) = 2/x‘ P(1|f(1))

Wie berechne ich hier die Ableitung mit der h-Formel? Also: lim f(x0+h) - f(x0)/ h

Bei mir kommt am ende immer -2/ (h^2 + h^3) raus und das ist glaube ich ziemlich falsch ..

Answer 1

Mit $$ f(x) = \frac{2}{x} $$ folgt $$ f'(x) = -\frac{2}{x^2}  $$ und damit \( f'(1)= -2 \)

Die Tangentengleichung lautet $$ t(x) = m(x-x_0)+f(x_0) = -2x + 4 $$ mit \( x_0 = 1 \) und \( m = f'(x_0) \)

Answer 2

Text erkannt:

Ableitung von \( f(x)=\frac{2}{x} \) mit der \( h- \)Methode
Allgemeine Form:
\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{2}{x+h}-\frac{2}{x}}{h}=\frac{\frac{2 x-2 \cdot(x+h)}{(x+h) \cdot x}}{h}=\frac{\frac{2 x-2 x-2 h}{x^{2}+h x}}{h}=\frac{-2 h}{h \cdot\left(x^{2}+h x\right)}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{-2}{x^{2}+h x} \rightarrow-\frac{2}{x^{2}} \)
\( f^{\prime}(x)=-\frac{2}{x^{2}} \)
\( f^{\prime}(1)=-\frac{2}{1}=-2 \)
Das ist nun die Tangentenseigung und du kannst nun mit der Punkt-Steigungsform die Tangentengleichung
berechnen.
mfG
Moliets