Zeigen Sie, dass die Punkte P, Q und R auf einer Geraden liegen.

Question

Ich hoffe, dass ihr bei dieser Aufgabe helfen könnt, da ich es leider nicht verstehe.

Zeigen Sie, dass die Punkte P, Q und R auf einer Geraden liegen. Welcher der drei Punkte liegt zwischen den beiden anderen? Begründen Sie.

P (-4/2/-2), Q (-6/-2/2), R (-1/8/-8)

Comments

Hi, es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, diese Aufgabe anzugehen. Eine davon besteht darin, die drei Abstände zwischen den drei Punkten zu bestimmen und daraus dann Schlussfolgerungen zu ziehen.

Answer 1

$$\vec P = \left(\begin{matrix} -4\\2\\-2 \end{matrix}\right)$$
$$\vec Q = \left(\begin{matrix} -6\\-2\\2 \end{matrix}\right)$$
$$\vec R = \left(\begin{matrix} -1\\8\\-8 \end{matrix}\right)$$
Die gewünschte Methode ist festzustellen, ob die Punkte auf einer Geradengleichung liegen. Dazu wählt man beliebige zwei der drei Punkte aus und bildet aus ihnen die Geradengleichung wie folgt:
$$\vec G= \vec P +k \cdot \vec Q$$
$$\vec G= \left(\begin{matrix} -4\\2\\-2 \end{matrix}\right) +k \cdot \left(\begin{matrix} -6\\-2\\2 \end{matrix}\right)$$
Nun prüft man, ob es ein $$k \in \mathbb{R}$$ gibt, für das gilt:
$$\vec G = \vec R$$
in Worten: liegt der Punkt R auf der Geraden, die von P und Q gebildet wurde?
und setzen in die Geradengleichung den Punkt R auf der Lösungsseite ein:
 $$\left(\begin{matrix} -1\\8\\-8 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -4\\2\\-2 \end{matrix}\right) +k \cdot \left(\begin{matrix} -6\\-2\\2 \end{matrix}\right)$$
Es sind nun die Gleichungen für jede Dimension zu lösen:
$$-1=-4 +k \cdot (-6)$$
$$8=2 +k \cdot (-2)$$
$$-8=-2 +k \cdot (2)$$
Fortsetzung folgt nach Rückmeldung des Fragestellers , der bitte k dann schon ausgerechnet hat!

Comments

Ich hab raus:

k₁= -0,5 ; k₂=-3 und k₃=-3

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Wenn für die verschiedenen Dimensionen unterschiedliche k entstehen, liegen nicht alle 3 Punkte auf einer Geraden.

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oder die benutzte (weil vorgeschlagene) Gleichung ist falsch

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Oder man fragt sich ob die Geradengleichung richtig aufgestellt ist.

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richtig - die Geradengleichung ist falsch !

werde später verbesserte Version nachliefern.

Bitte den Fragesteller um Entschuldigung ob der Verwirrung.

Hier hat der Wurm seinen Anfang genommen:
$$\vec G = \vec P +k⋅ (\vec Q - \vec P )$$

Answer 2

P (-4/2/-2), Q (-6/-2/2), R (-1/8/-8) 

Bilde die Richtungsvektoren

PQ = [-2, -4, 4]

PR = [3, 6, -6]

Diese Vektoren sind linear Abängig also liegen die Punkte auf einer Geraden.

P muss zwischen P und Q liegen weil man nach Q in richtung negativer x-Achse und nach R richting Positiver x-Achse geht.

P teilt die Strecke QR im Verhältnis 2:3.