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Folgende Aufgabe überfordert mich total:

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Es sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum mit Skalarprodukt und U sei ein Untervektorraum von V. Dann gibt es zu jedem v∈V genau ein  u∈U, sodass  v−u   auf allen Vektoren aus U senkrecht steht.
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Hi,
noch was aus dem Jahre 2013, mal schauen ob sich einer dafür noch interessiert.

Wähle eine Basis des Vektorunterraumes U U z.B. u1,,uk u_1, \cdots , u_k

dann kann man diese Basis zu einer Basis des Vektorraums V V ergänzen u1,,uk,uk+1,,un u_1, \cdots , u_k, u_{k+1}, \cdots , u_n
D.h. man kann v v darstellen als v=i=1nβiui v = \sum_{i=1}^n \beta_i u_i Der zu bestimmende Vektor uU u \in U hat eine Darstellung der Form u=i=1kαiui u = \sum_{i=1}^k \alpha_i u_i
D.h. man bestimmt u u durch die Gleichung
<i=1nβiuii=1kαiui,uj>=0 < \sum_{i=1}^n \beta_i u_i - \sum_{i=1}^k \alpha_i u_i , u_j > = 0 mit <,> < , > ist das Skalarprodukt gemeint. Das bedeutet es gilt
i=1k(βiαi)<ui,uj>=i=k+1nβi<ui,uj> \sum_{i=1}^k \left( \beta_i - \alpha_i \right) < u_i,u_j > = -\sum_{i=k+1}^n \beta_i < u_i,u_j > für j=1,,k j = 1, \cdots , k
Das ist aber ein lineares Gleichungssystem der Form A(βα)=b A(\beta - \alpha) = b mit Aij=<ui,uj> A_{ij} = < u_i, u_j > und A A ist die Gramsche Matrix. Diese ist invertierbar, deshalb gilt
α=βA1b \alpha = \beta -A^{-1}b Damit ist die existenz von α \alpha und die Eindeutigkeit bewiesen.

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