Zeigen Sie die Orthogonalprojektion: v-u steht auf allen Vektoren aus U senkrecht.

Question

Folgende Aufgabe überfordert mich total:

Zeigen sie:

Es sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum mit Skalarprodukt und U sei ein Untervektorraum von V. Dann gibt es zu jedem v∈V genau ein  u∈U, sodass  v−u   auf allen Vektoren aus U senkrecht steht.

Comments

Ein illustratives Beispiel zu deiner Frage: https://www.mathelounge.de/74640/orthogonalprojektion-beweis-span-we…

Answer 1

Hi,
noch was aus dem Jahre 2013, mal schauen ob sich einer dafür noch interessiert.

Wähle eine Basis des Vektorunterraumes $U$ z.B. $u_1, \cdots , u_k$

dann kann man diese Basis zu einer Basis des Vektorraums $V$ ergänzen $u_1, \cdots , u_k, u_{k+1}, \cdots , u_n$
D.h. man kann $v$ darstellen als $v = \sum_{i=1}^n \beta_i u_i$ Der zu bestimmende Vektor $u \in U$ hat eine Darstellung der Form $u = \sum_{i=1}^k \alpha_i u_i$
D.h. man bestimmt $u$ durch die Gleichung
$$< \sum_{i=1}^n \beta_i u_i - \sum_{i=1}^k \alpha_i u_i , u_j > = 0$$ mit $< , >$ ist das Skalarprodukt gemeint. Das bedeutet es gilt
$$\sum_{i=1}^k \left( \beta_i - \alpha_i \right) < u_i,u_j > = -\sum_{i=k+1}^n \beta_i < u_i,u_j >$$ für $j = 1, \cdots , k$
Das ist aber ein lineares Gleichungssystem der Form $$A(\beta - \alpha) = b$$ mit $A_{ij} = < u_i, u_j >$ und $A$ ist die Gramsche Matrix. Diese ist invertierbar, deshalb gilt
$$\alpha = \beta -A^{-1}b$$ Damit ist die existenz von $\alpha$ und die Eindeutigkeit bewiesen.