Hi,
noch was aus dem Jahre 2013, mal schauen ob sich einer dafür noch interessiert.
Wähle eine Basis des Vektorunterraumes U z.B. u1,⋯,uk
dann kann man diese Basis zu einer Basis des Vektorraums V ergänzen u1,⋯,uk,uk+1,⋯,un
D.h. man kann v darstellen als v=∑i=1nβiui Der zu bestimmende Vektor u∈U hat eine Darstellung der Form u=∑i=1kαiui
D.h. man bestimmt u durch die Gleichung
<i=1∑nβiui−i=1∑kαiui,uj>=0 mit <,> ist das Skalarprodukt gemeint. Das bedeutet es gilt
i=1∑k(βi−αi)<ui,uj>=−i=k+1∑nβi<ui,uj> für j=1,⋯,k
Das ist aber ein lineares Gleichungssystem der Form A(β−α)=b mit Aij=<ui,uj> und A ist die Gramsche Matrix. Diese ist invertierbar, deshalb gilt
α=β−A−1b Damit ist die existenz von α und die Eindeutigkeit bewiesen.