Überprüfung von Abbildungen (injektiv, surjektiv, bijektiv)

Question

Aufgabe ist es zu zeigen, ob die folgende Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Wie kann ich vorgehen, um zu Beweisen ob folgende Abbildung injektiv, surjektiv, bijektiv ist?

f: ℝ → ℝ
   x ↦ |x|

Ich weiß jetzt leider keinen Ansatz, um zu Beweisen, ob diese Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Hinzu kommt, dass man überprüfen soll, ob folgende Abbildungen gleich sind:

f: ℝ≥0 → ℝ
   x ↦ |x|

f: ℝ≥0 → ℝ
   x ↦ x

Muss man dafür einfach ein Beispiel einsetzen? x = 2 oder wie kann man es zeigen?

Answer 1

die allgemeine Vorgehensweise ist dieselbe wie bei einem Großteil der Beweise. Du verwendest die Definition der Eigenschaften um sie zu überprüfen (später lernt man auch äquivalente Eigenschaften kennen die man dann auch als Basis verwenden kann).

Prüfe in deinem Fall

a) ob alle reellen Zahlen abgebildet werden (dann wäre f surjektiv in diesem Fall)

b) ob alle reellen Zahlen auf unterschiedliche Zahlen abgebildet werden (dann wäre f injektiv in diesem Fall)

Mach dich auch bitte mit der genauen Definition der beiden Begriffe vertraut.

Bijektiv ist die Funktion genau dann wenn sie injektiv und surjektiv ist (das kannst du also folgern).

Beim zweiten Teil, die folgende Überlegung:

Die Abbildungen sind genau gleich, wenn f(x) = g(x) für alle x in D (Definitionsbereich von f und g)

Comments

Hallo Yakyu,

vielen dank für die Beschreibung.

Wärst Du noch so nett und würdest mir ein beispiel nennen, wie ich es bei der zweiten Aufgabe machen kann?

Muss ich nun bei f: ℝ≥0 → ℝ  einfach ein x (z.B. 5) einsetzen für ℝ≥0. Denn dann folgt 5 ↦ |5| sind gleich.
                                   x ↦ |x|

Ich habe den Grundgedanken noch nicht richtig verstanden, wie man bei so einer Abbildung vorgehen würde, wenn man ein bestimmtes x hätte.

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du brauchst kein bestimmtes x zu betrachten. Da deine Definitionsmenge ja die positiven reellen Zahlen und Null sind gilt ja, wenn f(x) = x und g(x) = |x|

$$ \forall x \in \mathbb{R}_{\geq 0} : f(x) = x = |x| = g(x) $$

und damit hast du schon bewiesen, dass die Abbildungen gleich sind.

Answer 2

die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) ist weder surjektiv noch injektiv. Negative Zahlen sind nicht im Bild von \( f \) und für \( b \neq 0 \) ist \( b \neq -b \), aber \( f(b) = f(-b) \).

Die letzteren beiden Funktionen sind trivialerweise gleich (\( | x | = x \) für \( x \geq 0 \)).

Mister